Prévia do material em texto

36. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{2x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{2x} = 2 \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra de L'Hôpital ou a expansão em série de Taylor para 
resolver o limite. 
 
37. **Problema:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = x^2 + 1 \) e o eixo \( 
x \). 
 - **Resposta:** A área é \( \frac{7}{3} \) unidades quadradas. 
 - **Explicação:** Usamos a integral definida para calcular a área sob a curva no 
intervalo dado. 
 
38. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = 2x \cos(x^2) \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função composta. 
 
39. **Problema:** Determine os valores de \( x \) para os quais a função \( h(x) = 
\frac{1}{\sqrt{x-1}} \) é contínua. 
 - **Resposta:** \( x > 1 \). 
 - **Explicação:** O domínio da função raiz quadrada requer um argumento positivo. 
 
40. **Problema:** Encontre a equação da reta que passa pelo ponto \( (2, 3) \) e é 
perpendicular à reta \( 3x + 2y = 4 \). 
 - **Resposta:** A equação da reta é \( y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 2) \). 
 - **Explicação:** Determinamos a inclinação da reta perpendicular e usamos o ponto 
dado para encontrar a equação. 
 
41. **Problema:** Determine os valores de \( x \) para os quais a função \( f(x) = 
\frac{1}{x^2 - 9} \) é contínua. 
 - **Resposta:** \( x \neq -3 \) e \( x \neq 3 \). 
 - **Explicação:** Identificamos os valores de \( x \) onde o denominador não é zero. 
 
42. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = e^x \), o eixo \( x \) e 
as retas \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 - **Explicação:** Usamos a integral definida para calcular a área sob a curva no 
intervalo dado. 
 
43. **Problema:** Determine 
 
 a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = -\frac{\sin x (1 + \sin x) + \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
44. **Problema:** Determine os valores de \( x \) para os quais a função \( g(x) = 
\frac{1}{x^2} \) é contínua. 
 - **Resposta:** \( x \neq 0 \). 
 - **Explicação:** Identificamos os valores de \( x \) onde o denominador não é zero. 
 
45. **Problema:** Encontre a equação da hipérbole com centro em \( (2, -1) \), vértices 
sobre o eixo \( y \) e que passa pelo ponto \( (3, 2) \). 
 - **Resposta:** A equação é \( \frac{(y + 1)^2}{4} - \frac{(x - 2)^2}{9} = 1 \). 
 - **Explicação:** Usamos as propriedades geométricas da hipérbole para determinar a 
equação. 
 
46. **Problema:** Calcule a integral indefinida \( \int \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2} \, dx = 3x + 2 + \frac{1}{x} + C \). 
 - **Explicação:** Dividimos o integrando pelo denominador e integramos termo a 
termo. 
 
47. **Problema:** Encontre a equação da elipse com centro em \( (2, -1) \), semi-eixo 
maior \( 5 \) ao longo do eixo \( x \) e semi-eixo menor \( 3 \) ao longo do eixo \( y \). 
 - **Resposta:** A equação é \( \frac{(x - 2)^2}{25} + \frac{(y + 1)^2}{9} = 1 \). 
 - **Explicação:** Usamos as propriedades geométricas da elipse para determinar a 
equação. 
 
48. **Problema:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \), o eixo 
\( x \) e as retas \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 - **Resposta:** A área é \( 1 + \ln e \) unidades quadradas.