Geometria Analítica: Retas e Planos

Prévia do material em texto

Fundamentos de Matemática
Francisco Edson da Silva
Simone Batista
Josinaldo Menezes da Silva
Parte III
Geometria Anaĺıtica
2
Conteúdo
III – Geometria Anaĺıtica 3
1 Retas e Planos 6
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Retas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Equações do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Justificativa da Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Posição Relativa: Disposição, Ângulos e Distâncias 27
2.1 Distância de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Distância de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Distância de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Posição Relativa entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Posição Relativa entre Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Posição Relativa entre Retas no Espaço Tridimensional . . . . . . . 38
2.5 Posição Relativa entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.1 Ângulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2 Distância entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Posição Relativa entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.1 Ângulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.2 Distância entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
Caṕıtulo 1
Retas e Planos
1.1 Introdução
Em nosso livro, até o momento vimos, em sua primeira perte, uma breve revisão de
tópicos e conceitos elementares da matemática e na segunda parte do livro um pouco da
Álgebra Vetorial.
Nesta segunda parte, em espećıfico, estudamos as grandezas escalares e vetoriais, o
conceito de ponto e de vetor e suas representação em cordenadas cartesianas, as noções
de vetores linearmente independentes e linearmente depentes e as diversas operações com
vetores e algumas de suas aplicações.
Agora, nesta terceira parte do livro, vamos usar nosso estudo de vetores para de-
screver matematicamente as retas e planos e também para determinar a posição relativa
(disposição, distância e/ou ângulo) entre pontos, retas e planos tomados dois a dois. Estes
estudos nos ajudarão a entender melhor as aplicações da Álgebra Vetorial na Geometria
Anaĺıtica.
1.2 Retas
Uma reta é um segmento infinito (no plano ou no espaço) que tem direção constante.
Podemos definir uma reta a partir de pois pontos ou de um vetor e de um ponto e,
desta forma, escrever, a partir destes elementos, a representação matemática de uma
reta. Vamos começar nosso estudo de retas por sua representação no plano e, logo a
seguir, estudaremos as retas no espaço.
Considerando uma reta qualquer (no plano ou no espaço) usamos, em geral, uma letra
minúscula para designá-la e usamos uma equação (ou algumas equações) para descrever
esta reta.
4
Temos três tipos de equações para descrever uma reta, cada um dos tipos usado em
situações diferentes. As equações usadas para descrever uma reta são classificadas nos
seguintes tipos:
• Equação Vetorial.
• Equações Paramétricas.
• Equações Simétricas.
Para escrever cada uma das equações de uma reta precisaremos ter:
1) um vetor com mesma direção que a reta, que é chamado de vetor diretor da reta;
e
2) um ponto (qualquer) da reta. Ou seja, precisamos saber a coordenadas de pelo
menos um ponto da reta que é um ponto de referência da reta.
Também costuma-se dizer que uma reta é definida pelas coordenadas de dois pontos
pertencentes à ela. Esta afirmação é completamente equivalente à descrição acima que diz
que uma reta é definida por um vetor diretor e por um ponto de referência pertencente
a ela, pois com dois pontos no espaço sempre podemos encontrar um vetor que seja
representado, por exemplo, pelo segmento orientado que liga os dois pontos. Ou seja,
também neste caso o que vamos utilizar apra escrever as equações da reta é um ponto da
reta e um vetor com a mesma direção que a reta.
Feitas estas observações iniciais, vamos começar nosso estudo com retas no plano e,
depois, estudaremos as retas no espaço.
1.2.1 Retas no Plano
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, fixado um ponto para origem
e uma base ortonormal positiva e sejam:
• Pr = (xP , yP ) as coordenadas de um ponto da reta r;
• ~vr = (v1, v2) um vetor com mesma direção que a reta r, ou seja, um vetor diretor
da reta.
Podemos escrever a equação vetorial da reta r que passa em Pr e tem a direção de
~vr como:
5
r : (x, y) = (xP , yP ) + λ(v1, v2), λ ∈ R
Todos os pontos que obedecem a equação acima, ou seja, os pontos com coordenadas
(x, y) que satisfazem a equação acima pertencem à reta r.
A equação vetorial de uma reta no plano pode ser separada em duas ao ser “escrita
na vertical”, ou seja, escrevendo-se uma equação para cada cordenada. Assim, podemos
separar a equação vetorial da reta r nas equações paramétricas da reta r que são:
r :
{
x = xP + λv1
y = yP + λv2
, λ ∈ R
Supondo v1 6= 0 e v2 6= 0, podemos isolar o parâmetro λ em cada uma das equações
paramétricas. Desta forma, temos que:
x = xP + λv1 ⇒ x− xP = λv1 ⇒ x− xP
v1
= λ
e
y = yP + λv2 ⇒ y − yP = λv2 ⇒ y − yP
v2
= λ
Igualando os λ’s, temos:
x− xP
v1
=
y − yp
v2
Ou, trabalhando algebricamente a equação acima:
v2x− v2xP = v1y − v1yP ⇒ v2x− v1y = v2xp − v1yP
Chamando v2 = a, −v1 = b e v2xp − v1yP = c, temos:
r : ax + by = c
Na forma :
x− xP
v1
=
y − yp
v2
ou na forma:
r : ax + by = c
a equação da reta r é chamada equação simétrica da reta r.
Se b 6= 0 na equação simétrica da reta r, então temos que:
ax + by = c ⇒ by = −ax + c ⇒ y = −a
b
x +
c
b
Chamando −a
b
= m e
c
b
= b̃, temos:
6
y = mx + b̃
que é chamada de equação simétrica reduzida de r. O número m é chamado coeficiente
angular da reta e b̃ é o coeficiente linear da reta. O coeficiente angular nos dá a direção da
reta. Na verdade, m = tgθ, onde θ é ângulo que a reta forma com o eixo x. O coeficiente
linear nos dá a ordenada do ponto P = (0, b̃), que é o ponto onde a reta intercepta o eixo
y.
Resumindo
Seja: Pr = (xP , yP ) ponto (qualquer) da reta r e ~v = (v1, v2) vetor diretor da reta r,
temos que as equações que podem ser utilizadas para definir matematicamente a reta r
são:
1) Equação Vetorial da reta r:
r : (x, y) = (xP , yP ) + λ(v1, v2), λ ∈ R
2) Equações Paramétricas da reta r:
r :
{
x = xP + λv1
y = yP + λv2
, λ ∈ R
3) Equação Simétrica da reta r:
r :
x− xP
v1
=
y − yp
v2
ou r : ax + by = c
4) Equação Simétrica Reduzida da reta r:
r : y = mx + b̃
Exemplos
1. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta que passa pelos
pontos A = (1,−2) e B = (0, 2).
Resolução: Para encontrarmos a equação vetorial da reta r precisamos de um
ponto da reta (temos dois) e de um vetor com a mesma direção que a reta r.
Como vetor diretor podemos usar o vetor
−→
AB, ou qualquer outro vetor paralelo a
ele, como
−→
BA, ou ainda 1
2
−→
AB.
7
~vr =
−→
AB = B − A(0, 2)− (1,−2) = (−1, 4)
Como ponto de referência da reta podemos usar o ponto Pr = A = (1,−2), ouqualquer outro ponto da reta, por exemplo o ponto B = (0, 2) que foi dado no
enunciado.
Temos que Pr = (1,−2) e ~vr = (−1, 4), portanto a equação vetorial da reta r é:
(x, y) = (1,−2) + λ(−1, 4), λ ∈ R
Escrevendo esta equação “na vertical” temos as equações paramétricas de r que são:
{
x = 1− λ
y = −2 + 4λ
, R
Isolando o parâmetro λ nas equações acima e igualando as duas expressões para
esteaprâmetro, temos a equação simétrica de r na forma:
x− 1
−1
=
y − (−2)
4
⇒ 1− x =
y + 2
4
ou
y + 4x = 2
Isolando o y no primeiro membro da equação acima encontramso a equação simétrica
reduzida de r:
y = 2− 4x
2. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta no plano que passa
pelo ponto P = (7,−5) e tem coeficiente angular m = −3.
Resolução: Lembrando que precisamos de um ponto e um vetor diretor da reta,
devido aos dados fornecidos no enunciado do exemplo há duas maneiras distintas
mas equivalentes de resolver este exemplo. Vamos resolvê-lo das duas formas para
deixar como ilustração.
i) Primeira forma de resolver:
Usaremos o ponto Pr = (7,−5) como ponto de referência da reta.
Para determinar o vetor diretor ~v = (v1, v2), usaremos o coeficiente angular.
Sabemos que
m =
v2
v1
8
Assim:
−5 =
v2
v1
⇒ −5v1 = v2 ⇒ ~v = (v1,−5v1) = v1(1,−5)
Como podemos usar qualquer vetor não nulo paralelo a reta, usaremos:
~v = (1,−5)
Assim, podemos escrever diretamente a equação vetorial da reta r como:
(x, y) = (7,−5) + λ(1,−5), λ ∈ R
E para as equações paramétricas temos:
{
x = 7 + λ
y = −5− 5λ
λ ∈ R
Já a equação simétrica, obtida das equações paramétricas, é dada por:
x− 7
1
=
y + 5
−5
ou y + 5x = 30
E, finalmente, a equação simétrica reduzida tem a forma:
y = 30− 5x
ii) Segunda forma de resolver:
Neste caso, usaremos o coeficiente angular da reta e o ponto P para determinar,
primeiramente, a equação simétrica reduzida da reta r. Sabendo que esta
equação tem a forma:
y = mx + b̃
vamos substituir o valor de m, de forma que:
y = −5x + b̃
Como a reta r passa no ponto P = (7,−5), este ponte deve obedecer a equação
da reta, assim, substituindo estas coordenada de Pna equação da reta podemos
descobrir o valor do coeficiente linear b̃, de forma que:
−5 = −5 · 7 + b̃ ⇒ b̃ = 30
assim:
y = −5x + 30
que é a equação simétrica reduzida da reta r.
9
Desta equação podemos escrever a equaçaõ simétrica da reta como
y + 5x = 30
No entanto, não podemos partir diretamente da equação simétrica ou simétrica
reduzida para a equação vetorial da reta.
Mas lembrando que, neste caso, já sabemos de dois pontos que estão na reta, o
ponto P = (7,−5) e o ponto Q = (0, 30), pois o coefiente linear, por definição,
dá a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y). Vamos usar estes
pontos para descobrir um vetor diretor para a reta. Este vetor é dado, por
exemplo, por:
~v =
−→
PQ = Q− P = (0, 30)− (7,−5) = (−7, 35)
Usando este vetor e o ponto P podemos escrever a equação vetorial da reta r
como:
(x, y) = (7,−5) + λ(−7, 35)
E para as equações paramétricas:
{
x = 7− 7λ
y = −5 + 35λ
λ ∈ R
Observação: As equações vetoriais (e também paramétricas) obtidas para a reta
r pelas duas formas que usamos para resolver o exeplo podem, à primeira vista,
parecer diferentes, mas são completamente equivalentes. E, como podemos observar
também, as equações simétricas que encontramos (pelos dois procedimentos) são
exatamente iguais.
3. Dada a reta (x, y) = (1, 2) + λ(−3, 1), λ ∈ R, determine 3 pontos da reta.
Resolução: Para determinarmos pontos da reta com sua equação dada na forma
vetorial, basta atribuirmos diferentes valores reais para o parâmetro λ. Assim,
podemos fazer:
i) λ = 0 que nos dá P1 = (1, 2);
ii) λ = 1 que nos fornece P2 = (1, 2) + (−3, 1) ⇒ P2 = (−2, 3); e
iii) λ = −1 temos P3 = (1, 2)− (−3, 1) ⇒ P3 = (4, 1).
4. Dada a reta r :
x + 2
3
= −y
2
, determine dois pontos de r.
Resolução: Neste caso, para descobrirmos pares ordenados que satisfazem a
10
equação simétrica da reta basta escolhermos valores para x e calcularmos o y cor-
respondente ou escolhermos valores para y e calcularmos o x correspondente.
Por exemplo:
i) fazendo x = 0 temos
0 + 2
3
= −y
2
⇒ y = −4
3
o que nos dá o ponto P1 =
(0,−4
3
); e
ii) fazendo x = 1 temos
1 + 2
3
= −y
2
⇒ y = −2 o que nos fornece o ponto
P2 = (1,−2).
5. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta s que passa pelo
ponto O = (0, 0) e é paralela a reta r : y = −2x + 5.
Resolução: Precisamos de um vetor diretor e um ponto da reta s.
Temos um ponto da reta s, o ponto O = (0, 0).
Sabemos que a reta s é paralela a reta r, ou seja as duas retas tem o mesmo
coeficiente angular m = −2. Assim, a equação simétrica reduzida da reta s é
y = −2x + b̃
O ponto O = (0, 0) pertence a reta s, portanto: 0 = −2(0) + b̃ ⇒ b = 0, ou seja, a
equação simétrica reduzida da reta s é:
y = −2x
e a equação simétrica pode ser escrita como:
y + 2x = 0
Pela equaçao da reta s podemos decobrir um segundo ponto da reta para calcularmos
um vetor diretor para ela. Fazendo, por exemplo, x = 1 obtemos que y = −2, desta
forma,o ponto B = (1,−2) pertence à reta s.
Podemos considerar como vetor diretor para a reta:
~v =
−−→
OB = B −O = (1,−2)− (0, 0) = (1,−2)
Portanto, a equação vetorial de s pode ser escrita como:
s : (x, y) = (0, 0) + λ(1,−2), λ ∈ R.
E as equações paramétricas de s são:
11
s :
{
x = 0 + 1λ
y = 0− 2λ
, λ ∈ R
ou seja:
s :
{
x = λ
y = −2λ
, λ ∈ R
1.2.2 Retas no Espaço
A partir de nosso estudo de retas no plano, vamos estudar, como extensão natural, as
retas no espaço tridimensional.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço R3, sejam Pr = (xP , yP , zP )
um ponto (qualquer) da reta r e ~v = (v1, v2, v3) um vetor diretor da reta. Temos as
seguintes equações que podem ser utilizadas para descrever os pontos pertencentes à reta
r:
¦ Equação Vetorial:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + λ(v1, v2, v3), λ ∈ R
¦ Equações Paramétricas:



x = xP + λv1
y = yP + λv2
z = zP + λv3
, λ ∈ R
¦ Equações Simétricas:
x− xP
v1
=
y − yP
v2
=
z − zP
v3
onde supomos que v1 6= 0, v2 6= 0 e v3 6= 0.
Exemplos
1. Encontre as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta que passa pelos
pontos A e B, sendo A = (1, 0, 1) e B = (−2,−3, 0).
Resolução: Precisamos de um ponto (qualquer) e um vetor diretor da reta.
12
Podemos usar o ponto A = (1, 0, 1) e o vetor
−→
AB = B−A = (−2,−3, 0)−(1, 0, 1) =
(−3,−3,−1). Assim, temos como equação vetorial de r:
(x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(−3,−3,−1), λ ∈ R
Como equações paramétrica, temos:



x = 1− 3λ
y = 0− 3λ
z = 1− λ
, λ ∈ R
E, finalmente, como equações simétricas:
x− 1
−3
=
y
−3
=
z − 1
−1
.
2. Dada a reta r :



x = 2− 3t
y = −3 + 5t
z = −2− t
, t ∈ R, deteminar se os pontos A = (−1, 2,−7) e
B = (−1, 2,−3) pertencem a r.
Resolução: Para verificar se o ponto A = (−1, 2,−7) pertence à reta, fazemos:



−1 = 2− 3t
2 = −3 + 5t
−7 = −2− t
o que nos dá:



−1 = 2− 3t ⇒ 3t = 3 ⇒ t = 1 ⇒ t=1
2 = −3 + 5t ⇒ −5t = −5 ⇒ t = 1 ⇒ t=1
−7 = −2− t ⇒ t = 5 ⇒ t=5



Diferentes
Portanto, o ponto A = (−1, 2,−7) não pertence à reta r.
Para o ponto B = (−1, 2,−3), fazemos:



−1 = 2− 3t
2 = −3 + 5t
−3 = −2− t
Assim, temos:



−1 = 2− 3t ⇒ 3t = 3 ⇒ t = 1 t=1
2 = −3 + 5t ⇒ −5t = −5 ⇒ t = 1 t=1
−3 = −2− t ⇒ t = 1 t=1



Iguais
Desta forma, vemos que o ponto B = (−1, 2,−3) pertence à reta r.
13
3. Dada a reta s :
x− 1
3
=
3− y
2
= z, determine equações vetoriais e paramétricas
de s.
Resolução: Há duas maneiras simples e equivalentes de ser resolver este exemplo.
Vamos fazer as duas maneiras para ilustrar os dois procedimentos.
i) Para resolver pelo primeiro procedimento devemos lembrar que precisamos de
um ponto e um vetor diretor para escrevermosa equação vetorial de uma reta.
Usando a equação simétrica da reta, vamos encontrar dois pontos, o que pode
ser feito igualando os termos da equação simétrica, para cada ponto, ao mesmo
valor numérico.
Assim, igualando as equações simétricas a zero:
s : x−1
3
= 3−y
2
= z = 0
x− 1
3
= 0 ⇒ x− 1 = 0 ⇒ x = 1
3−y
2
= 0 ⇒ 3− y = 0 ⇒ 3 = y
z = 0
Portanto, o ponto A = (1, 3, 0) ∈ s.
Por outro lado, igualando as equações simétricas a um temos que:
s : x−1
3
= 3−y
2
= z = 1
x−1
3
= 1 ⇒ x− 1 = 3 ⇒ x = 4
3−y
2
= 1 ⇒ 3− y = 2 ⇒ 1 = y
z = 1
Assim, o ponto B = (4, 1, 1) ∈ s.
Usando os pontos obtidos acima, podemos determinar um vetor diretor da reta
s como sendo:
~vs =
−→
AB = B − A = (4, 1, 1)− (1, 3, 0) = (3,−2, 1)
Assim, a equação vetorial da reta s pode ser escrita como:
(x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(3,−2, 1), λ ∈ R
E as equações paramétricas são:



x = 1 + 3λ
y = 3− 2λ
z = λ
, λ ∈ R
14
ii) Para resolver o problema da segunda maneira devemos lembrar que as equações
simétricas costumam ser obtidas isolando-se o parâmetro livre das equações
paramétricas e igualando os valores obtidos.
Assim, partindo da equação:
x− 1
3
=
3− y
2
= z
podemos escrever que:
λ =
x− 1
3
; λ =
3− y
2
e λ = z
Isolando as variáveis x, y e z nas equações acima podemos escrever as equações
paramétricas da reta s como:



x = 1 + 3λ
y = 3− 2λ
z = λ
, λ ∈ R
que, neste caso, têm exatamente a mesma forma encontrada pelo procedimento
anterior.
Das equações paramétricas da reta s podemos escrever, imediatamente, a
equação vetorial da reta s como:
(x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(3,−2, 1), λ ∈ R
4. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta que passa pelos
pontos A = (1,−2, 3), B = (1, 2, 1).
Resolução: Precisamos de um ponto e um vetor diretor.
Temos o ponto A = (1,−2, 3) e o vetor
−→
AB = (0, 4,−2). Assim podemos escrever a
equação vetorial da reta pedida como:
(x, y, z) = (1,−2, 3) + λ(0, 4,−2), λ ∈ R
Assim, as equações paramétricas são:



x = 1
y = −2 + 4λ
z = 3− 2λ
E as equações simétricas são:
y + 2
4
=
z − 3
−2
e x = 1
15
Observe que, como a equação paramétrica referente a abcissa, não tem o parâmetro
λ, pois o vetor diretor tem abcissa nula (todos os vetores diretores terão abcissa
nula!), as equações simétricas ficam um pouco diferentes.
5. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta que passa pelos
pontos A = (1,−2, 3) e B = (1,−2, 1).
Resolução: Precisamos de um ponto e um vetor diretor.
Temos o ponto A = (1,−2, 3) e o vetor
−→
AB = (0, 0,−2). Assim a equação vetorial
da reta pedida é:
(x, y, z) = (1,−2, 3) + λ(0, 0,−2), λ ∈ R
As equações paramétricas são:



x = 1
y = −2
z = 3− 2λ
E as equações simétricas são:
x = 1 e y = −2
Observe que como as equações paramétricas referente a abcissa e a ordenada, não
tem o parâmetro λ, pois o vetor diretor, assim como todos os vetores diretores
paralelos à reta, tem abcissa e ordenada nulas, as equações simétricas ficam dife-
rentes, elas praticamente se confundem com as equações paramétricas. Neste caso
espećıfico, a reta é uma reta paralela ao eixo z.
Vale ressaltar, ainda sobre o estudo das retas, que para decrever retas no plano usamos,
em geral, a equação simétrica da reta. Já para descrever retas no espaço, as três formas
(equação vetorial, paramétricas e simétricas) são igualmente usadas.
1.3 Planos
1.3.1 Introdução
A noção de plano nos é bastante familiar, no entanto, precisamos definir, matematica-
mente, um plano e aprender a descrevê-lo em termos de equações simples.
16
Assim, podemos dizer que um plano é uma região infinita do espaço, definida de tal
modo que quaisquer dois pontos desta região podem ser ligados por um segmento de reta
ou por um segmento orientado inteiramente contido nesta região.
Esta região do espaço que definimos como plano pode ser representada, matematica-
mente, em termos de uma equação vetorial, de equações paramétricas ou de uma equação
chamada de equação geral do plano. Vamos estudar estes três tipos de equações para o
plano e aprender a escrevê-las.
1.3.2 Equações do Plano
Para definirmos ou representarmos um plano vamos precisar de:
1. um ponto (qualquer) do plano e dois vetores linearmente independentes (LI) que
sejam paralelos ao plano e que chamaremos vetores diretores do plano; ou
2. um ponto do plano e um vetor normal ao plano.
Usando o primeiro conjunto de elementos (um ponto do plano e dois vetores paralelos
a ele) para definir o plano, podemos escrever diretamente a equação vetorial e as equações
paramétricas do plano. Ou seja, dado o ponto P = (xP , yP , zP ) um ponto qualquer do
plano π, e ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) vetores paralelos a π com {~v, ~w} linearmente
independentes (LI), temos que a equação vetorial do plano π é dada por:
π : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + λ(v1, v2, v3) + t(w1, w2, w3) λ, t ∈ R
E as equações paramétricas do plano π, que são a equação vetorial do plano escrita
“na vertical”, podem ser escritas como:
π :



x = xp + λv1 + tw1
y = yP + λv2 + tw2
z = zP + λv3 + tw3
, λ, t ∈ R
Como veremos nos exemplos, este procedimento para se obter a equação vetorial e
equações paramétricas do plano também pode ser realizado utilizando-se, no lugar do
ponto e dos dois vetores paralelos ao plano, três pontos não colineares do plano ou mesmo
uma reta do plano e um ponto que não perteça à reta mas que também esteja no plano.
Usando um ponto do plano e um vetor normal ao plano, podemos escrever a chamada
equação geral do plano. Para compreendermos esta equação vamos, primeiro, definir
o que é um vetor normal a um plano.
17
Dado um plano π, um vetor ~n é denominado normal a π se ~n é ortogonal a todos os
vetores paralelos a π, ou seja, se o angulo entre o vetor ~n e o plano π é de 90o.
Na figura a seguir está representado o plano π e um vetor ~n normal a este plano.
Desta forma, a equação geral do plano π que contém o ponto P = (xp, yP , zP ) e é
normal ao vetor ~n = (a, b, c), é escrita como:
π : ax + by + cz + d = 0
onde o coeficiente d é determinado usando-se as coordenadas do ponto P e vale:
d = −(axP + byP + czP )
Devemos, ainda, lembrar que para descrever planos a equação geral do plano é, nor-
malmente, mais usada que as equações vetorial e paramétricas.
Exemplos
1. Determine as equações vetorial, paramétricas e geral do plano que contém os pontos
A = (1,−3, 0), B = (1, 1, 1) e C = (0,−1, 2).
Resolução: Para escrvermos a equação vetorial e as equações paramétricas do
plano precisamos de um ponto e dois vetores diretores.
Podemos usar o ponto A = (1,−3, 0) e os vetores
~v =
−→
AB = B − A = (1, 1, 1)− (1,−3, 0) = (0, 4, 1)
e
~w =
−→
AC = C − A = (0,−1, 2)− (1,−3, 0) = (−1, 2, 2)
Assim, temos que a equação vetorial do plano é:
π : (x, y, z) = (1,−3, 0) + λ(0, 4, 1) + t(−1, 2, 2) λ, t ∈ R
E as equações paramétricas do plano π são:
18
π :



x = 1 +0λ −1t
y = −3 +4λ +2t
z = 0 +1λ +2t
, λ, t ∈ R
Para encontrarmos a equação geral, precisamos de um vetor (qualquer) que seja
normal ao plano. E temos que um vetor ~n = ~v ∧ ~w é normal ao plano.
Assim, temos que
~n = ~v ∧ ~w =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 4 1
−1 2 2
∣∣∣∣∣∣∣
= 6~i− 1~j + 4~k = (6,−1, 4)
Desta forma, temos que:
π : 6x− 1y + 4z + d = 0
Podemos determinar o valor do coeficiente d usando qualquer um dos pontos perte-
centes ao plano e dados no enucnciado. Usando o ponto A = (1,−3, 0), temos
que:
π : 6x− 1y + 4z + d = 0 ⇒ 6(1)− 1(−3) + 4(0) + d = 0 ⇒ d = −9
Assim, a obtemos a equação geral do plano que é:
6x− 1y + 4z − 9 = 0
2. Dado o plano π : 2x−y +3z−4 = 0, determine as equações vetorial e paramétricas
do plano π.
Resolução: Precisamos de um ponto e dois vetores diretores do plano que sejam
linearmente independentes.Lembrando que um ponto P = (xP , yP , zP ) pertence ao plano se suas coordenadas
obedecem à equação geral do plano, podemos encontrar pontos pertencentes ao
plano π atribuindo valores a duas das coordenadas na equação geral e determinando
o valor da terceira coordenada.
Por exemplo, dizemos que o ponto A = (1, 1, zA) ∈ π, se existe valor de zA ∈ R de
modo que a equação geral do plano seja satisfeita. Ou seja:
2(1)− (1) + 3zA − 4 = 0 ⇒ zA = 1
assim o ponto A = (1, 1, 1) ∈ π.
19
O ponto B = (0, yB, 0) ∈ π e yB vale:
2(0)− (yB) + 3(0)− 4 = 0 ⇒ yB = −4
o que nos dá o ponto B = (0,−4, 0).
O ponto C = (xC , 0, 0) ∈ π e xC vale:
2x− (0) + 3(0)− 4 = 0 ⇒ xC = 2
e o ponto C tem coordenadas C = (2, 0, 0).
Assim, temos A,B, C ∈ π o que nos permite calcular os vetores paralelos ao plano:
~v =
−→
AB = B − A = (0,−4, 0)− (1, 1, 1) = (−1,−5,−1)
e
~w =
−→
AC = C − A = (2, 0, 0)− (1, 1, 1) = (1,−1,−1)
Como:
−1
1
6= −5
−1
6= −1
−1
, temos que {−→v ,−→w } é LI, portanto podem ser usados como
vetores diretores do plano.
Assim, a equação vetorial pode ser escrita como:
(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(−1,−5,−1) + t(1,−1,−1), λ, t ∈ R
E as equações paramétricas como:



x = 1 −1λ +1t
y = 1 −5λ −1t
z = 1 −1λ −1t
1.3.3 Justificativa da Equação Geral do Plano
A partir dos vetores diretores do plano π e de seu ponto de referência, vamos justificar
a equação geral do plano π.
Primeiramente, dados ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3), vetores diretores do plano π,
vamos calcular o produto vetorial ~v ∧ ~w:
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣
= (v2w3 − v3w2)~i + (v3w1 − v1w3)~j + (v1w2 − v2w1)~k
Então, um vetor normal ao plano π é
~n = (v2w3 − v3w2)~i + (v3w1 − v1w3)~j + (v1w2 − v2w1)~k
20
Fazendo:
~n = (v2w3 − v3w2)︸ ︷︷ ︸
a
~i + (v3w1 − v1w3)︸ ︷︷ ︸
b
~j + (v1w2 − v2w1)︸ ︷︷ ︸
c
~k
Temos:
~n = (a, b, c)
Agora, se P = (xP , yP , zP ) é um ponto (qualquer) fixo do plano, vamos observar que
o ponto X = (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, os vetores
−−→
PX, ~v e ~w são
coplanares (observe que se X ∈ π todos os vetores são paralelos ao plano π).
Lembrando que:
−−→
PX = X − P = (x− xP , y − yP , z − zP )
e
~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3)
Temos:
∣∣∣∣∣∣∣
x− xp y − yP z − zP
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣
= 0
O que nos leva a:
(x− xP )(v2w3 − v3w2) + (y − yP )(v3w1 − v1w3) + (z − zP )(v1w2 − v2w1) = 0
Usando o resultado obtido a partir do produto vetorial ~v ∧ ~w, ou seja:
(v2w3 − v3w2) = a, (v3w1 − v1w3) = b, (v1w2 − v2w1) = c .
A equação:
(x− xP )(v2w3 − v3w2) + (y − yP )(v3w1 − v1w3) + (z − zP )(v1w2 − v2w1) = 0
fica:
(x− xP )a + (y − yP )b + (z − zP )c = 0
Ou seja:
ax + by + cz + (−axP − byP − czP ) = 0
Portanto, fazendo: (−axP − byP − czP ) = d,
Temos a equação geral do plano π:
21
π : ax + by + cz + d = 0
Onde ~n = (a, b, c) é um (qualquer) vetor normal ao plano π. E d é tal que axP + byP +
czP + d = 0.
Exemplos
1. Dado o plano π1 : 2x − y + 4 = 0, determine a equação geral do plano π2 paralelo
a π1 que passa pelo ponto O = (0, 0, 0).
Resolução:
π1 : 2x− y + 4 = 0 ⇒ 2x− y + 0z + 4 = 0
Portanto, o vetor ~n = (2,−1, 0) é normal ao plano π1.
Como π2 é paralelo a π1 o vetor ~n = (2,−1, 0) é normal a π2. Portanto, sabemos
que a equação do plano π2 é:
2x− 1y + 0z + d = 0
Para encontrar a equação do plano π2, basta encontrar d. Mas, sabemos que o ponto
O = (0, 0, 0) pertence ao plano π2, portanto satisfaz a equação do plano π2, ou seja:
2(0)− 1(0) + 0(0) + d = 0
o que nos leva a concluir que d = 0. Portanto:
π2 : 2x− 1y + 0z + 0 = 0
ou:
π2 : 2x− 1y = 0
2. Dado o plano π : (x, y, z) = (1,−1, 0) +λ(1, 1, 1) + t(1,−2− 3), λ, t ∈ R, determine
as equações paramétricas e geral de π.
Resolução: Vamos pensar na equação geral, pois as paramétricas é só “escrever a
equação vetorial na vertical”.
Assim, as equações paramétricas do plano π são:



x = 1 + λ + t
y = −1 + λ− 2t
z = λ− 3t
22
Para a equação geral, precisamos de um vetor normal ao plano. Este vetor pode
ser obtido pelo produto vetorial dos vetores diretores do plano ~v1 = (1, 1, 1) e ~v2 =
(1,−2,−3). Assim:
~n = ~v1 ∧ ~v2 =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 1 1
1 −2 −3
∣∣∣∣∣∣∣
= (−1, 4,−3)
O que nos permite escrever a equação geral do plano como:
−x + 4y − 3z + d = 0
Para determinarmos o valor de d usamos o ponto P pertencente ao plano e dado
por P = (1,−1, 0). Assim:
−1 + 4 · (−1)− 3 · 0 + d = 0 ⇒ d = 5
Desta forma temos, finalmente, a forma final da equação geral do plano:
−x + 4y − 3z + 5 = 0
ou
x− 4y + 3z − 5 = 0
1.4 Exerćıcios
Antes de começar os exerćıcios a seguir, refaça todos os exemplos deste caṕıtulo!
1. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas das retas:
a) que passa por A = (1, 2) e B = (3,−1).
b) que passa por P = (1,−2, 3) e Q = (−1,−1, 1).
c) que passa por Q = (1, 1) e é perpendicular a reta y = 2x + 2.
d) que passa por O = (0, 0, 0) e é paralela a reta



x = 2− 3t
y = 2
z = 8t
, t ∈ R
23
2. Determinar a equação de duas retas concorrentes no ponto A = (1, 2, 3) sendo uma
delas perpendicular à reta r :
x− 1
2
= y − 2 e z = 0 e a outra reta passa por
B = (1,−1,−1).
3. Determine as equações geral, vetorial e paramétricas dos planos:
a) que passa por A = (1,−1, 0), B = (2,−2, 3) e C = (2, 0, 3).
b) que passa por A = (1, 2, 3), B = (0, 0, 1) e C = (2,−1,−2).
c) que passa por P = (1,−1, 0) e é paralelo ao plano π : 2x + y − 2z − 2 = 0.
4. Dadas as retas r :
x− 2
2
=
y
2
= z e s : x − 2 = y = z, obtenha uma equação geral
para o plano determinado por r e s.
5. Sejam P = (4, 1,−1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4− t, 1 + 2t).
a) Mostre que P /∈ r;
b) Obtenha a equação geral do plano determinado por r e P .
6. Dados os planos π1 : x− y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano
que contém π1 ∩ π2 e é ortogonal ao vetor (−1, 1,−1).
7. Ache a equação da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos
2x + 3y + z + 1 = 0 e x− y + z = 0.
8. Seja a reta determinada pela intersecção dos planos x+y−z = 0 e 2x−y+3z−1 = 0.
Ache a equação do plano que passa por A = (1, 0,−1) e contém a reta r.
9. Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x − y + 5z − 3 = 0 que passa por
P = (1,−2, 1).
10. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular
aos planos x + 2y − 3z + 2 = 0 e 2x− y + 4z − 1 = 0.
11. Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e
é perpendicular ao plano y = z.
12. Determine as equações vetorial, paramétricas, simétrica e simétrica reduzida da reta
s que passa pelo ponto O = (1,-1) e é paralela a reta r : y = −x + 3.
∗ ∗ ∗
24
Caṕıtulo 2
Posição Relativa: Disposição,
Ângulos e Distâncias
Neste caṕıtulo vamos estudar a posição relativa entre elementos da geometria: ponto
e ponto; ponto e reta; ponto e plano; reta e reta; reta e plano; e plano e plano.
Assim, dados dois pontos ou um ponto e outro objeto (reta ou plano) queremos saber
qual a distância entre eles. E dados dois destes outros objetos (retas e/ou planos) quer-
emos saber se eles são paralelos, se eles se interceptam, qual o ângulo entre eles, se eles
são perpendiculares, se eles são ortogonais, qual a distância entre eles, etc.
Para responder a estas perguntas usaremos nossos conhecimentos de Álgebra Vetorial
e o estudo da representação por equações dos planos e das retas que foi feito no caṕıtulo
anterior.
2.1 Distância de Ponto a Ponto
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas ou uma base ortonormal, sejam P =
(xP , yP , zP ) e Q = (xQ, yQ, zQ) dois pontos do espaço, vamos considerar o vetor:
−→
PQ =
Q− P = (xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP ).
A distância entre os pontos P e Q é igual à norma do vetor que tem no segmento
orientado
−→
PQ um de seus representantes e, por conseguinte, também é igual à norma de−→
QP . Portanto, dados os pontos P e Q, a distância entreeles é dada por:
d(P, Q) =
∣∣−→PQ
∣∣ =
∣∣(xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP )
∣∣
portanto:
d(P, Q) =
√
(xQ − xP )2 + (yQ − yP )2 + (zQ − zP )2
25
Exemplo
1. Determine a distância entre os pontos P = (1,−2, 3) e Q = (1, 0,−1).
Resolução:
d(P, Q) =
∣∣−→PQ
∣∣ =
∣∣(1− 1,−2− 0, 3− (−1)
)∣∣ =
∣∣(0,−2, 4)
∣∣
d(P, Q) =
√
(0)2 + (−2)2 + (4)2 =
√
0 + 4 + 16 =
√
20
d(P, Q) = 2
√
5 u.c.
2.2 Distância de Ponto a Reta
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas ou uma base ortonormal, sejam P =
(xP , yP , zP ) e r : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(v1, v2, v3), onde Q = (x0, y0, z0) é um ponto
(qualquer mas fixo) da reta e ~vr = (v1, v2, v3) é um vetor diretor da reta.
Para determinarmos a expressão matemática que é a distância (menor distância1)
entre o ponto P e a reta r podemos considerar o triângulo ou o paralelogramo formado
pelos vetores
−→
QP e ~vr.
Para obtermos a expressão para a distância entre a reta r e o ponto P , vamos considerar
o triângulo definido pelos vetores
−→
QP e ~vr e que está marcado da figura abaixo:
A área deste triângulo pode ser calculada, como vimos no caṕıtulo sobre produto
vetorial, como sendo:
A4 =
1
2
∣∣−→QP ∧ ~vr
∣∣
Por outro lado, a área de um triângulo é, sempre, igual a:
1Sempre que falarmos em ditância entre dois elementos/objetos da Geometria Anaĺıtica estamos
falando da menor distância entre eles.
26
A4 =
1
2
base× altura
Como a base do triângulo é
∣∣~vr
∣∣ e a altura é a distância entre o ponto P e a reta r,
temos:
1
2
∣∣−→QP ∧ ~vr
∣∣ =
1
2
∣∣~vr
∣∣d(P, r)
o que nos dá:
d(P, r) =
∣∣−→QP ∧ ~vr
∣∣
∣∣~vr
∣∣
Sempre que precisarmos calcular a distância entre um ponto e uma reta podemos usar
a expressão deduzida acima, para tanto precisamos de um ponto fixo da reta e de um
vetor diretor desta.
Exemplo
1. Determine a distância entre o ponto P = (1,−2, 3) e a reta r : (x, y, z) =
(1, 1,−4) + t(1, 0,−5).
Resolução: Temos P = (1,−2, 3), Q = (1, 1,−4) e ~vr = (1, 0,−5), portanto
prcisamos determinar as coordenadas do vetor
−→
PQ. Assim:
−→
PQ = P −Q = (1,−2, 3)− (1, 1,−4) = (0,−3, 7)
Portanto, temos que:
d(P, r) =
∣∣−→PQ ∧ ~vr
∣∣
∣∣~vr
∣∣ =
∣∣(0,−3, 7) ∧ (1, 0,−5)
∣∣
∣∣(1, 0,−5)
∣∣
Como:
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 −3 7
1 0 −5
∣∣∣∣∣∣∣
= 15~i + 7~j + 3~k = (15, 7, 3)
Temos:
d(P, r) =
∣∣−→PQ ∧ ~vr
∣∣
∣∣~vr
∣∣ =
∣∣(0,−3, 7) ∧ (1, 0,−5)
∣∣
∣∣(1, 0,−5)
∣∣ =
∣∣(15, 7, 3)
∣∣
∣∣(1, 0,−5)
∣∣
d(P, r) =
√
152 + 72 + 32
√
12 + 02 + (−5)2
=
√
283√
26
d(P, r) =
√
283
26
u.c.
27
2.3 Distância de Ponto a Plano
Vamos obter, agora, a expressão matemática para a distância entre um ponto e um
plano.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas ou uma base ortonormal, seja o ponto
P = (xP , yP , zP ) e o plano π : ax + by + cz + d = 0, onde ~n = (a, b, c) é um vetor normal
ao plano π. Para obtermos a distância (menor distância) entre o ponto P e o plano π,
vamos considerar a reta que passa pelo ponto P = (xP , yP , zP ) e tem o vetor normal ao
plano π, como vetor diretor. Ou seja, vamos considerar a reta:
s : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + m(a, b, c)
Esta reta intercepta o plano π em um ponto que iremos chamar de Q.
O ponto P , o plano π, o vetor ~n, o ponto Q e a reta s estão esquematizados na figura
abaixo.
Para acharmos as coordenadas do ponto Q, lembrando que ele é a intersecção entre a
reta s e o plano π, basta-nos resolver o sistema:



xQ = xP + ma
yQ = yP + mb
zQ = zP + mc
axQ + byQ + czQ + d = 0
28
Lembrando que P = (xP , yP , zP ), ~n = (a, b, c) e d são números, as variáveis são m,
xQ, yQ e zQ, mas estamos interessados apenas nas coordenadas do ponto Q, ou seja, nas
variáveis xQ, yQ e zQ.
Para resolver o sistema, vamos substituir as três primeiras equações na quarta equação,
e encontrar m. Depois vamos substituir o m encontrado nas três primeiras equações e,
desta forma, encontraremos os valores de xQ, yQ e zQ.
Temos, portanto:
a(xP + ma) + b(xP + mb) + c(zP + mc) + d = 0
axP + ma2 + byP + mb2 + czP + mc2 + d = 0
m(a2 + b2 + c2) + axP + byP + czP + d = 0
Como ~n = (a, b, c) é vetor normal ao plano π, ele não é o vetor nulo, portanto a2 +
b2 + c2 6= 0, podemos isolar m como:
m =
−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
Agora, substituindo o valor de m nas três primeiras equações do sistema, encontramos:


xQ = xP +
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)
a
yQ = yP +
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)
b
zQ = zP +
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)
c
Assim, temos que a distância entre o ponto P e o plano π é:
d(P, π) = d(P,Q) =
∣∣−→PQ
∣∣
Portanto:
−→
PQ = Q− P = (xP − xQ, yP − yQ, zP − zQ)
Substituindo as coordenadas do ponto Q encontradas na expressão acima e fazendo
as devidas simplificações, ficamos com:
−→
PQ = Q− P =
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)
(a, b, c)
Como d(P, π) =
∣∣−→PQ
∣∣, temos que:
d(P, π) =
∣∣∣∣
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
) ∣∣∣∣
∣∣ (a, b, c)
∣∣
d(P, π) =
(∣∣− axP − byP − czP − d
∣∣
a2 + b2 + c2
) √
a2 + b2 + c2
29
Permitindo-nos chegar, finalmente, à expressão:
d(P, π) =
∣∣axP + byP + czP + d
∣∣
√
a2 + b2 + c2
que é a expressão matemática para a distância entre o ponto P = (xP , yP , zP ) e o plano
π : ax + by + cz + d = 0.
Exemplos
1. Calcule a distância entre o ponto P = (1,−2, 3) e os planos:
a) π1 : 2x− 3y + 4 = 0;
b) π2 : 2x + y − 3z + 9 = 0
Resolução:
a) Podemos determinar a distância entre o ponto P e o plano π1 aplicando dire-
tamente a fórmula de distância entre um ponto e um plano.
Como π : 2x − 3y + 0z + 4 = 0, temos que: a = 2, b = −3, c = 0 e d = 4.
Temos também que P = (1,−2, 3), ou seja, xP = 1, yp = −2 e zP = 3.
Como:
d(P, π) =
∣∣axp + byP + czP + d
∣∣
√
a2 + b2 + c2
=
∣∣(2)(1) + (−3)(−2) + (0)(3) + (4)
∣∣
√
(2)2 + (−3)2 + (0)2
d(P, π) =
∣∣2 + 6 + 0 + 4
∣∣
√
4 + 9 + 0
=
12√
13
b) Neste caso temos que 2x + y − 3z + 9 = 0, ou seja, a = 2, b = 1, c = −3 e
d = 9. Temos ainda que P = (1,−2, 3), ou seja, xP = 1, yP = −2 e zP = 3.
Assim:
d(P, π) =
∣∣(2)(1) + (1)(−2) + (−3)(3) + 9
∣∣
√
(2)2 + (1)2 + (−3)2
= 0
O resultado obtido não é estranho pois, como podemos verificar, p ∈ π e,
portanto, d(P, π) = 0
30
2.4 Posição Relativa entre Retas
Nesta secção vamos estudar a posição relativa entre duas retas no plano e entre duas
retas no espaço tridimensional. Como cada um destes estudos tem suas peculiaridades,
vamos estudar estas posições relativas separadamente.
2.4.1 Posição Relativa entre Retas no Plano
Dadas duas retas r e s no plano, podemos ter uma das seguintes disposições entre elas:
1. As retas são coincidentes, r ≡ s.
2. As retas são paralelas, r ‖ s.
3. As retas são concorrentes, r _| s.
Na figura a seguir mostramos, como exemplo, três casos de retas r e s que são, respec-
tivamente, coincidentes, paralelas e concorrentes.
Para determinarmos a posição relativa entre duas retas, primeiro precisamos deter-
minar se elas são coincidentes, paralelas ou reversas. Para isto precisamos determinar o
ângulo entre estas retas, pois o ângulo entre duas retas determina a a disposição de uma
reta em relação à outra, ou seja, determina o seu posicionamento relativo.
Dadas duas retas r e s no plano, temos que:
1. Se as retas são coincidentes (r ≡ s) ou paralelas (r ‖ s) o ângulo entre elas é igual a
zero(ang(r, s) = 0◦). Ou, equivalentemente, podemos dizer que em termos de suas
equações vetoriais, estas retas tem vetores diretores paralelos; e em termos de suas
equações simétricas reduzidas, elas tem o mesmo coeficiente angular.
2. Se as retas são concorrentes, r _| s então ang(r, s) é o menor ângulo formado entre
os vetores diretores ~vr e ~vs. O ângulo entre duas retas é sempre um ângulo entre 0◦
e 90◦.
31
Para tomarmos ciência deste último ponto, imaginemos duas retas concorrentes como
mostradas na figura a seguir.
Podemos pensar em dois ângulos entre as retas, θ e φ. Pela figura vemos que, nestecaso, θ é o menor ângulo entre as retas, portanto quando falamos de ângulo entre retas
estamos falando de θ. Vemos também que θ + φ = 180o e que temos sempre φ ≥ θ,
portanto o menor ângulo entre as retas é sempre θ ≤ 90o.
Para determinarmos o menor ângulo entre as retas r e s (que são concorrentes) con-
sideramos os vetores diretores delas, ~vr e ~vs (que não são paralelos) e calculamos:
cos θ =
~vr · ~vs∣∣~vr
∣∣ ∣∣~vs
∣∣
Então, se:
i) cos θ > 0 então ang(r, s) = arccos
(
~vr·~vs∣∣~vr
∣∣ ∣∣~vs
∣∣
)
.
ii) cos θ < 0 então ang(r, s) = 180◦ − arccos
(
~vr·~vs∣∣~vr
∣∣ ∣∣~vs
∣∣
)
.
Conhecido o ângulo e a disposição entre as retas r e s no plano, para determinarmos
completamente sua posição relativa precisamos determinar a distância (menor distância)
entre elas.
Dadas duas retas r e s no plano, temos:
1. Se as retas são coincidentes, r ≡ s então d(r, s) = 0.
2. Se as retas são paralelas, r ‖ s então d(r, s) > 0.
3. Se as retas são concorrentes, r _| s então d(r, s) = 0.
Assim, nos casos de retas coincidentes ou concorrentes, a distância entre elas é igual
a zero. Para o caso de retas paralelas precisamos determinar a distância.
32
A distância entre as retas paralelas r e s é a distância entre um ponto (um ponto
qualquer mas fixo) de uma das retas e a outra reta. Assim, para determinas a distância
entre duas retas paralelas usamos “a fórmula” da distância entre ponto e reta, deduzida
e explicada na seção anterior. Nos exemplos a seguir ilustraremos bem estes cálculos.
Antes de apresentarmos os exemplos e ilustrarmos uma maneira de calcular a posição
relativa entre duas retas, queremos lembrar que existem várias maneiras de descobrir a
posição relativa de duas retas e que, se feita corretamente, são completamente equiva-
lentes. Mas, para que este não venha a se tornar o texto muito extenso apresentaremos
apenas uma maneira para cada item do exemplo a seguir (retas paralelas, concorrentes e
coincidentes).
Exemplo
1. Determine a posição relativa (a distância e o ângulo) entre as seguintes retas no
plano:
a) y = 2x− 3 e y = x + 5;
Resolução: Neste caso foi dada a equação simétrica reduzida de cada reta.
Para sabermos a disposição de uma para com a outra podemos olhar, direta-
mente, seus coeficientes angulares.
Como: mr = 2 e ms = 1, ou seja, mr 6= ms as retas são concorrentes. Portanto,
a distância entre elas é dada por:
d(r, s) = 0
Para descobrirmos o ângulo entre as duas retas precisamos descobrir um ve-
tor diretor de cada reta e calcularmos o produto escalar entre eles. Assim,
precisamos de dois pontos de cada reta.
Para a reta r, fazendo x = 0 temos que y = −3, assim Pr = (0,−3). E fazendo
x = 1 temos y = −1, então Qr = (1,−1). Desta forma podemos tomar como
vetor diretor da reta r:
~vr =
−−−→
PrQr = Qr − Pr = (1,−1)− (0,−3)
~vr = (1, 2)
cujo módulo vale:
|~vr| = |(1, 2)| =
√
12 + 22
|~vr| =
√
5
33
Para a reta s, fazendo x = 0 temos que y = 5, assim Ps = (0, 5). E fazendo
x = 1 temos y = 6, então Qs = (1, 6). Desta forma podemos tomar como vetor
diretor da reta s:
~vs =
−−−→
PsQs = Qs − Ps = (1, 6)− (0, 5)
~vs = (1, 1)
cujo módulo vale:
|~vs| = |(1, 1)| =
√
12 + 12
|~vs| =
√
2
Usando que:
cos θ =
~vr · ~vs
|~vr| |~vs|
temos que:
cos θ =
(1, 2) · (1, 1)√
5
√
2
=
1 · 1 + 2 · 1√
10
cos θ =
3√
10
=
3
√
10
10
(2.1)
Portanto, o ângulo entre as retas r e s vale:
θ = arccos
(
3
√
10
10
)
Podemos, também, encontrar a intersecção entre as retas resolvendo o sistema:
{
y = 2x− 3
y = x + 5
Temos: 2x− 3 = x + 5 ⇒ x = 8 ⇒ y = 8 + 5 ⇒ y = 13
Assim, temos:
r ∩ s = { (8, 13) }
b) 2x + 3y − 7 = 0 e 4x + 6y − 4 = 0;
Resolução: Isolando o y nas equações de ambas as retas, r e s, temos que:
r : 2x + 3y − 7 = 0 ⇒ y = −2
3
x +
7
3
34
e
s : 4x + 6y − 4 = 0 ⇒ y = −2
3
x +
2
3
Como: ms = −2
3
= mr e 7
3
= br 6= bs = 2
3
, as retas são paralelas. Portanto, o
ângulo entre elas vale:
ang(r, s) = 0◦
Para calcular d(r, s), vamos usar que
d(P, s) =
∣∣−→PQ ∧ ~vs
∣∣
∣∣~vs
∣∣
onde P é um ponto da reta s e Q um ponto da reta r e ~vs é o vetor diretor da
reta s que, como as retas são paralelas, também é igual ao vetor diretor de r.
Pelas equações podemos verificar facilmente que (2, 1) ∈ r, (−1, 3) ∈ r, (1, 0) ∈
s e (−2, 2) ∈ s.
Como só podemos fazer o produto vetorial no espaço, vamos considerar as retas
no plano xy mas que todos os seus pontos (e vetor diretor) estão escritos no
espaço. Ou seja, vamos considerar: (2, 1, 0) ∈ r, (−1, 3, 0) ∈ r, (1, 0, 0) ∈ s e
(−2, 2, 0) ∈ s e que, portanto, um de seus vetores diretores vale ~vr = (3,−2, 0)
e ~vs = (3,−2, 0).
Usando Pr = (2, 1, 0) ∈ r e Qs = (1, 0, 0) ∈ s assim:
−→
PQ = (−1,−1, 0)
Como:
−→
PQ ∧ ~vr =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−1 −1 0
3 −2 0
∣∣∣∣∣∣∣
= (0, 0, 5)
temos que:
d(r, s) = d(P, r) =
∣∣−→PQ ∧ ~vr
∣∣
∣∣~vr
∣∣ =
∣∣(0, 0, 5)
∣∣
∣∣(3,−2, 0)
∣∣ =
5√
13
c) (x, y) = (0,−3) + λ(1, 2) e (x, y) = (1,−1) + λ(−2,−4).
Resolução: Pela razão entre as coordenadas dos vetores diretores das retas r
e s:
1
−2
=
2
−4
podemos ver que estes vetores são paralelos, portanto as retas
ou são paralelas ou coincidentes e o ângulo entre elas vale:
ang(r, s) = 0◦
Para verificarmos se elas são paralelas ou coincidentes podemos escrever a
equação vetorial de uma das retas, reta r por exemplo, na forma paramétrica
35
e usando um ponto da outra reta (reta s) verificarmos se este ponto obedece
também a equação de r. Assim:
{
x = λ
y = −3 + 2λ
Usando o ponto PS = (1,−1) temos que:
{
x = λ ⇒ 1 = λ ⇒ λ = 1
y = −3 + 2 ⇒ −1 = −3 + 2λ ⇒ λ = 1
Como encontramos o mesmo valor para o parâmetro λ, o ponto P = (1,−1)
também pertence àreta r. Desta forma, podemos concluir que as retas r e s
são coincidentes.
2.4.2 Posição Relativa entre Retas no Espaço Tridimensional
Após estudarmos e aprendermos a determinara posição relativaentre duas retas no
planom vamos estudar a posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional.
É importante ressaltarmos que o processo que utilizaremos para encontrar a posição
relativa entre retas no espaço pode ser utilizado para encontrar a posição relativa entre
retas no plano!
Duas retas r e s no espaço podem ser:
i) Coincidentes, r ≡ s ;
ii) Paralelas, r ‖ s ;
iii) Concorrentes, r _| s ;
iv) Reversas, r rev s .
Devemos ter em mente que se duas retas são: coincidentes, elas tem todos os pontos
em comum; concorrentes, tem um único ponto em comum; paralelas, não tem nenhum
ponto em comum mas sempre podemos encontrar um plano que contém as duas retas;
reversas, não tem nenhum ponto em comum, mas não podemos encontrar um plano que
contenha as duas retas. No caso de retas reversa, podemos pensar que são retas que estão
em planos paralelos, ou seja, se a reta r é reversa à reta s, o plano que contém a reta r é
paralelo ao plano que contém a reta s.
36
Nas figuras a seguir, é mostrado um exemplo para cada tipo de disposição de retas no
espaço.
Assim, dadas as equações de duas retas no espaço, para encontrar a posição relativa
entre elas devemos realizar o procedimento descrito a seguir.
1) Comparar os vetores diretores das retas. Pois:
a) se os vetores diretores das retas forem paralelos as retas serão: coincidentes ou
paralelas,
b) se os vetores não forem paralelos as retas são concorrentes ou reversas.
Assim, com uma conta simples (descobrir se dois vetores são paralelos ou não) já
diminuiremos nosso problema pela metade!
2.1) Se os vetores diretores são paralelos, vamos verificar se um ponto (um ponto qual-
quer, mas fixo) de uma das retas pertence à outra reta. Pois:
a) Se o ponto de uma das retas pertencer à outra, as retas são coincidentes.
b) Se o ponto de uma das retas não pertencer à outra, as retas são paralelas.
2.2) Se os vetores diretores não são paralelos, vamos considerar os vetores diretores das
retas e o vetor
−→
PQ, sendo P o ponto deuma das retas e Q. Pois:
37
a) Se o conjunto formado pelos vetores diretores das retas e o vetor
−→
PQ é LD
(coplanares) as retas são concorrentes.
b) Se o conjunto formado pelos vetores diretores das retas e o vetor
−→
PQ é LD (não
coplanares) as retas são reversas.
Resumindo
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional e dadas r e s
com P ponto de r e Q ponto de s e ~vr vetor diretor de r e ~vs vetor diretor de s, temos:
¦ Se ~vr ‖ ~vs e P ∈ s então r ≡ s.
¦ Se ~vr ‖ ~vs e P /∈ s então r ‖ s.
¦ Se ~vr ∦ ~vs e
{
~vr , ~vs ,
−→
PQ
}
é LD então r _| s.
¦ Se ~vr ∦ ~vs e
{
~vr , ~vs ,
−→
PQ
}
é LI então r rev s.
Determinação do ângulo entre duas retas no espaço tridimensional
Dadas duas retas r e s no espaço com vetores diretores iguais a ~vr e ~vs, respectivamente,
devemos verificar se seus vetores diretores são paralelos ou não. Então:
1) Se os vetores diretores são paralelos, as retas são paralelas ou coincidentes o ângulo
entre as retas é zero.
ang(r, s) = 0o
2) Se os vetores diretores não são paralelos, as retas são concorrentes ou reversas o
ângulo entre elas é o menor ângulo formado entre seus vetores diretores. Ou seja,
se ~vr e ~vs são os vetores diretores de r e s respectivamente, calculamos:
cos θ =
~vr · ~vs∣∣~vr
∣∣ ∣∣~vs
∣∣
Então se:
i) cos θ > 0 então ang(r, s) = arccos
(
~vr · ~vs∣∣~vr
∣∣ ∣∣~vs
∣∣
)
ii) cos θ < 0 então ang(r, s) = 180◦ − arccos
(
~vr · ~vs∣∣~vr
∣∣ ∣∣~vs
∣∣
)
38
Determinação da distância entre dua retas no espaço
Dadas as retas r e s no espaço e sabendo-se a disposição entre elas, ou seja, se são
coincidentes, concorrente, paralelas ou reversas, podemos determinar a distância entre
elas. Assim, temos que:
1) Se as retas são coincidentes então a distância entre as retas é zero.
d(r, s) = 0
2) Se as retas são concorrentes então a distância entre as retas é zero.
d(r, s) = 0
3) Se as retas são paralelas a distância entre as retas é a distância entre um ponto de
uma das retas e a outra reta. Ou seja, se r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
e s : (x, y, z) = (xQ, yQ, zQ) + m(w1, w2, w3), então:
d(r, s) = d(P, s) =
∣∣−−−→PrQs ∧ ~vr
∣∣
∣∣~vr
∣∣ =
∣∣−−−→PrQs ∧ ~ws
∣∣
∣∣~ws
∣∣
4) Se as retas são reversas a distância entre elas é a distância entre o plano que contém
umas das retas (e que é definido pelos vetores diretores das retas e um ponto de
uma das retas) e um ponto da outra reta. Ou seja, se r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) +
t(v1, v2, v3) e s : (x, y, z) = (xQ, yQ, zQ) + m(w1, w2, w3), então, ache a equação
geral do plano que tem: ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) como vetores diretores e
contém o ponto Q = (xQ, yQ, zQ).
Vamos chamá-lo de π : ãx + b̃y + c̃z + d̃ = 0.
Agora, achemos a distância entre o plano π e o ponto P = (xP , yP , zP ) que é dada
por:
d(r, s) = d(P, π) =
∣∣ãxP + b̃yP + c̃zP + d̃
∣∣
√
(ã)2 + (b̃)2 + (c̃)2
Exemplos
1. Determine a posição relativa, a distância e o ângulo entre as retas r e s:
a) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s : (x, y, z) = (0,−2, 0) + m(−2, 0,−6)
Resolução: Como: ~vr = (1, 0, 3) é paralelo a ~vs = (−2, 0,−6) as retas são
paralelas ou coincidentes.
39
Vamos verificar se P = (1,−2, 3) ∈ r pertence a reta s. Para isto, vamos
considerar as equações paramétricas de s:
s :



x = −2m
y = −2
z = −6m
Como:



1 = −2m ⇒ m = −1
2
−2 = −2
3 = −6m ⇒ m = −1
2
O ponto Pr = (1,−2, 3) também pertence a s, portanto as retas são coinci-
dentes.
Se as retas r e s são coincidentes, o ângulo entre elas é zero e a distância entre
elas é zero.
ang(r, s) = 0o e d(r, s) = 0
b) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s : (x, y, z) = (0, 0,−3) + m(1, 1, 1).
Resolução: Como: ~v = (1, 0, 3) não é paralelo a ~w = (1, 1, 1), as retas são
concorrentes ou reversas.
Vamos considerar um ponto de cada reta: P = (1,−2, 3) ∈ r e Q =
(0, 0,−3) ∈ s, desta forma, temos que:
−→
PQ = (−1, 2,−6)
Como: { (1, 0, 3) , (1, 1, 1) , (−1, 2,−6) } é LI (verifique que eles não são
coplanares), as retas r e s são reversas.
Temos: ~vr = (1, 0, 3) e ~ws = (1, 1, 1) assim, ~vr · ~ws = (1, 0, 3) · (1, 1, 1) = 4 e∣∣(1, 0, 3)
∣∣ =
√
10 ,
∣∣(1, 1, 1)
∣∣ =
√
3.
Assim: cos θ = 4√
10
√
3
> 0. Portanto:
ang(r, s) = arccos
(
4√
30
)
Falta a distância entre r e s. Temos: ~vr = (1, 0, 3) , ~ws = (1, 1, 1),
Pr = (1,−2, 3) e Qs = (0, 0,−3)
Como: ~vr ∧ ~ws = (−3, 2, 1), o plano formado pelos vetores diretores das retas
é −3x + 2y + z + d = 0 queremos o plano formado pelos vetores diretores das
retas que contém o ponto Pr = (1,−2, 3), assim:
40
π : −3x + 2y + z + 4 = 0
Agora, vamos calcular a distância entre o plano π e o ponto Qs = (0, 0,−3):
d(r, s) = d(Qs, π) =
∣∣(−3)(0) + (2)(0) + (1)(−3) + 4
∣∣
√
(−3)2 + (2)2 + (1)2
d(r, s) = d(Qs, π) =
1√
14
c) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s :
x− 2
3
=
2 + y
4
=
6− z
3
.
Resolução: Passando a equação da reta s da forma simétrica para a forma
vetorial obtemos s : (x, y, z) = (2,−2, 6) + t(3, 4,−3).
Assim, os vetores diretores da reta r e s são ~vr = (1, 0, 3) e ~vs = (3, 4,−3) que
não são paralelos, portanto as retas r e s são concorrentes ou reversas.
Tomando os pontos de referência das retas Pr = (1,−2, 3) e Qs = (2,−2, 6)
temos que o vetor
−−−→
PrQs = (1, 0, 3).
Assim vemos que { ~vr, ~vs,
−−−→
PrQs } = { (1, 0, 3), (3, 4,−3), (1, 0, 3) } é LD,
portanto as retas r e s são concorrentes.
Desta forma, a distância entre elas é:
d(r, s) = 0
E o ângulo entre elas é calculado por:
cos θ =
~vr · ~vs
|~vr| |~vs| = − 3√
85
Como cos θ < 0, o ângulo entre as retas será:
θ′ = 180o − arccos
(
− 3√
85
)
d) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s : 3x− 9 = z e y = −2
Resolução: Escrevendo a equção da reta s na forma vetorial encontramos que
s : (x, y, z) = (3,−2, 0) + t(
1
3
, 0, 1).
Portanto os vetores diretores das duas retas são paralelos e elas são paralelas
ou coincidentes.
Verificando que o ponto de referência de r, Pr = (1,−2, 3) também obedece à
equação da reta s concluimos que as duas retas são coincidentes.
Assim, temos que:
41
d(r, s) = 0 ang(r, s) = 0o
2.5 Posição Relativa entre Planos
No caṕıtulo anterior começamos a estudar retas e planos, aprendendo a escrever suas
equações vetoriais, paramétricas, simétricas e gerais. Neste caṕıtulo estamos aprendendo
a determinar a posição relativa entre alguns dos elementos da Geometria Anaĺıtica.
Nas secções anteriores estudamos a posição relativa entre dois pontos, entre um ponto
e uma reta, entre um ponto e um plano e entre duas retas. Assim, nesta secção vamos
estudar a posição relativa entre dois planos.
Dois planos π1 e π2 podem ser:
i) coincidentes, π1 ≡ π2 ;
ii) paralelos, π1 ‖ π2 ;
iii) transversos, π1 _| π2 .
Na figura a seguir, são mostrados exemplos de planos com diferentes disposições entre
si.
Para determinarmos a posição relativa entre dois planos, vamos considerar que, ixado
um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, temos os planos:
α : ax + by + cz + d = 0
β : ãx + b̃y + c̃z + d̃ = 0
42
Assim, podemos escrever que:
1. Se ~nα = (a, b, c) é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) e existe P ∈ α com P ∈ β então os
planos são coincidentes.
2. Se ~nα = (a, b, c) é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) e existe P ∈ α com P /∈ β então os
planos são paralelos.
3. Se ~nα = (a, b, c) não é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) então os planos são transversais (se
cortam).
2.5.1 Ângulo entre Dois Planos
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional e considerando
os planos:
α : ax + by + cz + d = 0
β : ãx + b̃y + c̃z + d̃ = 0
Temos que:
1. Se ~nα = (a, b, c) é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) então os planos são paralelos ou coinci-
dentes e o ângulo entre eles é zero, ou seja, ang(α, β) = 0◦.
2. Se ~nα = (a, b, c) não é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) entãoos planos são transversais e o
ângulo entre eles é o menor ângulo entre ~nα e ~nβ. Ou seja, se:
i) cos θ > 0 então ang(r, s) = arccos
(
~nα · ~nβ∣∣~nα
∣∣ ∣∣~nβ
∣∣
)
ii) cos θ < 0 então ang(r, s) = 180◦ − arccos
(
~nα · ~nβ∣∣~nα
∣∣ ∣∣~nβ
∣∣
)
2.5.2 Distância entre Dois Planos
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional e considerando
os planos:
43
α : ax + by + cz + d = 0
β : ãx + b̃y + c̃z + d̃ = 0
Temos que:
1. Se ~nα = (a, b, c) é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) e existe P ∈ α com P ∈ β então os planos
são coincidentes e a distância entre eles é zero
2. Se ~nα = (a, b, c) é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) e existe P ∈ α com P /∈ β então os planos
são paralelos e a distância entre eles é a distância entre um ponto (qualquer mas
fixo) de um dos planos para o outro plano.
3. Se ~nα = (a, b, c) não é paralelo a ~nβ = (ã, b̃, c̃) então os planos são transversais e a
distância entre eles é zero.
Exemplos
1. Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os planos.
a) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : 3x− y − z + 1 = 0.
Resolução:
Como os vetores normais aos planos ~nα = (2,−3, 1) e ~nβ = (3,−1,−1) não são
paralelos, os planos α e β são transversais.
Assim, a distância entre eles vale:
d(α, β) = 0
Calculando:
cos θ =
~nα · ~nβ
|~nα| |~nβ| =
4√
35
vemos que o ângulo entre os planos vale:
θ = arccos
(
4√
35
)
b) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : 2x− 3y + z + 1 = 0.
Resolução:
Como ~nα = ~nβ e dα 6= dβ, os planos α e β são paralelos.
Portanto:
44
ang(α, β) = 0o
Considerando o ponto P = (1, 1,−2) que pertence ao plano α, podemos calcu-
lar a distância entre os planos α e β como sendo a distância entre o ponto P e
o plano β.
Assim:
d(α, β) = d(P, β) =
∣∣ãxP + b̃yP + c̃zP d̃
∣∣
√
ã2 + b̃2 + c̃2
=
2√
14
c) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : −4x + 6y − 2z − 6 = 0.
Resolução:
Como os vetores normais aos planos ~nα = (2,−3, 1) e ~nβ = (−4, 6,−2) são
paralelos, os planos α e β são paralelos ou coincidentes.
Se multiplicarmos ambos os lados da equação do plano α por −2 obtemos
α : −4x + 6y − 2z − 6 = 0 que é a equação do plano β, portanto concluimos
que os planos αe β são o mesmo plano, ou seja, eles são coincidentes.
Desta forma d(α, β) = 0 e ang(α, β) = 0o.
2.6 Posição Relativa entre Reta e Plano
Nesta última secção deste caṕıtulo onde estudamos a posição relativa entre elementos
da Geometria Anaĺıtica (pontos, retas e planos), vamos estudar a posição relativa entre
uma reta e um plano.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, sejam
a reta r e o plano π dados por:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
π : ax + by + cz + d = 0
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; ~v = (v1, v2, v3) é o vetor diretor de r; e ~n = (a, b, c) vetor
normal ao plano π.
Então, temos que:
1. Se ~v · ~n = 0 e P = (xP , yP , zP ) /∈ π então a reta r é paralela ao plano π.
2. Se ~v ·~n = 0 e P = (xP , yP , zP ) ∈ π então a reta r está contida no plano π, ou seja,
a reta r pertence ao plano π.
45
3. Se ~v · ~n 6= 0 então a reta r é transversal ao plano π.
2.6.1 Ângulo entre Reta e Plano
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, sejam a reta
r e o plano π dados por:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
π : ax + by + cz + d = 0
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; ~v = (v1, v2, v3) é o vetor diretor de r; e ~n = (a, b, c) vetor
normal ao plano π.
Então, temos que:
1. Se a reta r é paralela ao plano π então o ângulo entre a reta e o plano é zero.
2. Se a reta r pertence ao plano π então o ângulo entre a reta e o plano é zero.
3. Se a reta r é transversal ao plano π então o ângulo entre a reta e o plano é o menor
ângulo entre um vetor normal ao plano e um vetor diretor da reta. Ou seja,
B Se ~vr · ~n > 0 então ang(r, π) = 90o − arccos
(
~vr·~n∣∣~vr
∣∣ ∣∣~n
∣∣
)
B Se ~vr · ~n < 0 então ang(r, π) = arccos
(
~vr·~n∣∣~vr
∣∣ ∣∣~n
∣∣
)
− 90◦
2.6.2 Distância entre Reta e Plano
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, sejam a reta
r e o plano π dados por:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
π : ax + by + cz + d = 0
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; ~v = (v1, v2, v3) é o vetor diretor de r; e ~n = (a, b, c) vetor
normal ao plano π.
Então, temos que:
46
1. Se a reta r é paralela ao plano π então a distância entre a reta e o plano é a distância
entre um ponto qualquer da reta e o plano. Ou seja:
d(r, π) = d(P, π) =
∣∣axP + byP + czP + d
∣∣
√
a2 + b2 + c2
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r e π : ax + by + cz + d = 0
2. Se a reta r pertence ao plano π então a distância entre a reta e o plano é zero.
3. Se a reta r é transversal ao plano π então a distância entre a reta e o plano é zero.
Exemplos
1. Determine a posição relativa entre a reta e o plano em cada um dos itens a seguir.
a) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2,−1, 3) e π : 2x + 3y − z + 4 = 0.
Resolução:
Usando o vetor diretor da reta r, ~vr = (2,−1, 3) e o vetor norml ao plano π,
~n = (2, 3,−1), calculamos:
~vr · ~n = −2
Então a reta r é transversal ao plano π.
Assim:
d(r, π) = 0
Para determinarmos o ângulo entre entre r e π calculamos:
cos θ =
~vr · ~n
|~vr| |~n| = −1
7
Desta forma, temos que o ângulo entre r e π vale:
θ′ = 180o − arccos
(
−1
7
)
b) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2,−1, 3) e π : 3x + 3y − z + 4 = 0.
Resolução:
Usando o vetor diretor da reta r, ~vr = (2,−1, 3) e o vetor norml ao plano π,
~n = (3, 3,−1), calculamos:
~vr · ~n = 0
47
Então a reta r ou é paralela ao plano π ou está contida no plano π e, por isto,
temos que:
ang(r, π) = 0o
Verificando que o ponto de referência da reta r não satisfaz a equação do plano
π, concluimos que a reta r é paralela ao plano π.
Usando o ponto de referência da reta r, P = (1,−1, 0), podemos calcular a
distância entre a reta r e o plano π como sendo a distância entre o ponto P e
o plano π. Ou seja:
d(r, π) = d(P, π) =
∣∣axP + byP + czP + d
∣∣
√
a2 + b2 + c2
=
4√
19
c) r : (x, y, z) = (1,−1, 4) + t(2,−1, 3) e π : 3x + 3y − z + 4 = 0.
Resolução: Usando o vetor diretor da reta r, ~vr = (2,−1, 3) e o vetor norml
ao plano π, ~n = (3, 3,−1), calculamos:
~vr · ~n = 0
Então a reta r ou é paralela ao plano π ou está contida no plano π.
Verificando que o ponto de referência da reta r satisfaz a equação do plano π,
concluimos que a reta r estácontida no plano π.
Assim:
d(r, π) = 0 e ang(r, π) = 0o
2.7 Exerćıcios
Antes de começar os exerćıcios a seguir, refaça todos os exemplos deste caṕıtulo!
1. Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre as retas r e s:
a) r : y = 2x− 3 e s : x = 8. (no plano)
b) r : 2x− y + 3 = 0 e s : −x + 2y − 8 = 0. (no plano)
c) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + λ(1,−1, 0), λ ∈ R e
x + 2
2
=
−y + 2
2
e z = 0.
(no espaço)
48
d) r :



x = 2 + 3t
y = 3t
z = 4
e
s :



x = −1 + 2λ
y = 2 + 5λ
z = 4 + λ
e) r :
x− 2
3
=
y
2
=
−z + 4
1
e
s :



x = −1 + 2λ
y = 2 + 5λ
z = 4− λ
2. Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os planos:
a) π1 : 2x + 3y − z + 2 = 0 e π2 : 4x + 6y − 2z = 0.
b) π1 : 2x− 3y = 0 e π2 : y − 2z + 8 = 0.
c) π1 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(3, 2,−1) + t(1, 2, 0) e π2 : 2x− 3y = 0.
3. Determine a posição relativa (disposição, ângulo e distância) entre a reta e o plano:
a) r : (x, y, z) = (1, 2,−1) + t(1,−2, 0), t ∈ R e π : 2x + y − z − 2 = 0.
b) r :
x + 1
1
=
y + 2
2
e z = 0 e π : 2x + y − z = 0.
c) r :
{
x + y + z − 3 = 0
2x− z = 4
e π : 2x + y − z + 2 = 0.
4. Determine a posição relativa (disposição, ângulo e distância) entre:
a) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 0,−1) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +
λ(−2, 0, 2);
b) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3)+λ(1, 1, 2) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3)+λ(−2, 0, 5);
c) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 3,−2) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +
λ(−2,−6,4);
d) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 3, 1) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 3);
e) os planos π1 : 2x + 5y − z = 0 e π2 : 2z − 4x− 10y + 3 = 0.
5. Encontrar o ângulo entre o plano 2x − y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto
P = (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor ~v =~i + 2~j + ~k.
49
6. Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 1, 0)
e π2 o plano que passa pelos pontos P − (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e é paralelo ao
vetor ~i +~j. Ache o ângulo entre π1 e π2.
7. Ache uma reta que passa pelo ponto (1,−2, 3) e que forma ângulos de 45o e 60o com
os eixos x e y, respectivamente.
8. Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e
sabendo que o lado BC está contido na reta r : (x, y, z) = t(0, 1,−1). Sugestão:
Determine os pontos Pr da reta r tais que
−−→
PrA faz ângulo de 60o (e 120o) com o
vetor diretor da reta r.
9. Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos
A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π.
10. Seja r1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r2 a reta
x− 2 =
y − 3
2
=
z − 4
3
.
a) Encontre as equações da reta perpendicular às retas r1 e r2;
b) Calcule a distância entre r1 e r2.
11. Dados A = (0, 2, 1), r : (x, y, z) = (0, 2,−2) + t(1,−1, 2), ache os pontos de r que
distam
√
3 de A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a
√
3?
Por que?
12. Dada a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 0)+t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1),
ache o ponto da reta r que está equidistante de A e de B.
13. Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1,−1, 2)
e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao
segmento AB?
14. Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2,−3) e (x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4,−6). Encontre
a equação geral do plano que contem estas duas retas.
15. Ache as equações dos planos em R3 (espaço tridimensional) ortogonais ao vetor
(2, 2, 2), que distam
√
3 do ponto (1, 1, 1).
16. Obtenha uma equação geral do plano π, que contém a reta r :
{
x− 2y + 2z = 0
3x− 5y + 7z = 0
e forma com o plano π1 : x + z = 0 um ângulo de 60o.
50
17. Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de dois pontos
distintos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é um plano que passa pelo ponto médio
do segmento AB e é perpendicular a ele. Este plano é chamado de plano mediador
do segmento AB.
18. Mostre que a distância de um ponto P0 = (x0, y0, z0) a um plano π : ax+by+cz+d =
0 é d(P0, π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
.
∗ ∗ ∗
51