Problemas de Cálculo e Geometria

Prévia do material em texto

77. **Problema:** Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( 3 \). 
 
78. **Problema:** Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 2x^2 
- 4x \). 
 - **Resposta e Explicação:** Máximo em \( \left( 0, 0 \right) \); mínimo em \( \left( 2, -8 
\right) \). 
 
79. **Problema:** Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a reta \( ax + by = 4 \) seja 
paralela à reta \( 3x - 2y = 5 \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( a = 2, b = 3 \). 
 
80. **Problema:** Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \cos(x) \) e pelo 
eixo \( x \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 1 \) unidade de área. 
 
81. **Problema:** Encontre os pontos de interseção das curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 3 - x 
\). 
 - **Resposta e Explicação:** Os pontos de interseção são \( (1, 2) \) e \( (9, 0) \). 
 
82. **Problema:** Determine os valores de \( a \) e \( b \) para que a reta \( ax + by = 6 \) 
seja perpendicular à reta \( 3x - 2y = 7 \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( a = 2, b = 3 \). 
 
83. **Problema:** Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( 5 \). 
 
84. **Problema:** Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x + 
9 \). 
 - **Resposta e Explicação:** Máximo em \( (2, 13) \); mínimo em \( (-2, 1) \). 
 
85. **Problema:** Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a reta \( ax + by = 7 \) seja 
paralela à reta \( 3x + 4y = 5 \).