Problemas de Cálculo e Geometria

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68. **Problema:** Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( 5 \). 
 
69. **Problema:** Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x + 
9 \). 
 - **Resposta e Explicação:** Máximo em \( (2, 13) \); mínimo em \( (-2, 1) \). 
 
70. **Problema:** Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a reta \( ax + by = 7 \) seja 
paralela à reta \( 3x + 4y = 5 \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( a = 3, b = 4 \). 
 
71. **Problema:** Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e pelo 
eixo \( x \) de \( x = 1 \) a \( x = e \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 1 \) unidade de área. 
 
72. **Problema:** Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( 6 \). 
 
73. **Problema:** Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 
+ 2x \). 
 - **Resposta e Explicação:** Máximo em \( \left( 0, 0 \right) \); mínimo em \( \left( 
\frac{2}{3}, -\frac{10}{27} \right) \). 
 
74. **Problema:** Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a reta \( ax + by = 6 \) seja 
perpendicular à reta \( 2x - 3y = 7 \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( a = 3, b = 2 \). 
 
75. **Problema:** Determine os pontos de interseção das curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) 
\). 
 - **Resposta e Explicação:** Não há pontos de interseção real. 
 
76. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e pelo 
eixo \( x \) de \( x = 0 \) a \( x = \pi \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 2 \) unidades de área.