Geometria Analítica - Exercícios

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia (ECT)
Bacharelado em Ciências e Tecnologia (BCT)
ECT1101 - Fundamentos de Matemática - 2010.1
GEOMETRIA ANALÍTICA
Lista de Exerćıcios
1. Determine as equações vetorial, paramétricas e
simétricas das retas:
a) que passa por A = (1, 2) e B = (3,−1).
b) que passa por P = (1,−2, 3) e Q =
(−1,−1, 1).
c) que passa por Q = (1, 1) e é perpendicular
a reta y = 2x + 2.
d) que passa por O = (0, 0, 0) e é paralela a
reta



x = 2− 3t
y = 2
z = 8t
, t ∈ R
2. Determinar a equação de duas retas concor-
rentes no ponto A = (1, 2, 3) sendo uma delas
perpendicular à reta r :
x− 1
2
= y−2 e z = 0
e a outra reta passa por B = (1,−1,−1).
3. Determine as equações geral, vetorial e
paramétricas dos planos:
a) que passa por A = (1,−1, 0), B =
(2,−2, 3) e C = (2, 0, 3).
b) que passa por A = (1, 2, 3), B = (0, 0, 1)
e C = (2,−1,−2).
c) que passa por P = (1,−1, 0) e é paralelo
ao plano π : 2x + y − 2z − 2 = 0.
4. Dadas as retas r :
x− 2
2
=
y
2
= z e s : x− 2 =
y = z, obtenha uma equação geral para o plano
determinado por r e s.
5. Sejam P = (4, 1,−1) e r : (x, y, z) =
(2 + t, 4− t, 1 + 2t).
a) Mostre que P /∈ r;
b) Obtenha a equação geral do plano deter-
minado por r e P .
6. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0 e π2 :
x+y−z−1 = 0, determine o plano que contém
π1 ∩ π2 e é ortogonal ao vetor (−1, 1,−1).
7. Ache a equação da reta que passa pelo ponto
P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y +
z + 1 = 0 e x− y + z = 0.
8. Seja a reta determinada pela intersecção dos
planos x+y−z = 0 e 2x−y+3z−1 = 0. Ache a
equação do plano que passa por A = (1, 0,−1)
e contém a reta r.
9. Ache a equação do plano paralelo ao plano
2x−y+5z−3 = 0 que passa por P = (1,−2, 1).
10. Encontre a equação do plano que passa pelo
ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos planos
x + 2y − 3z + 2 = 0 e 2x− y + 4z − 1 = 0.
11. Encontrar a equação do plano que passa pelos
pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e é perpen-
dicular ao plano y = z.
12. Determine as equações vetorial, paramétricas,
simétrica e simétrica reduzida da reta s que
passa pelo ponto O = (1,-1) e é paralela a reta
r : y = −x + 3.
13. Determine a posição relativa, o ângulo e a
distância entre as retas r e s:
a) r : y = 2x− 3 e s : x = 8. (no plano)
b) r : 2x− y + 3 = 0 e s : −x + 2y − 8 = 0.
(no plano)
1
c) r : (x, y, z) = (1,−1, 0)+λ(1,−1, 0), λ ∈
R e
x + 2
2
=
−y + 2
2
e z = 0. (no
espaço)
d) r :



x = 2 + 3t
y = 3t
z = 4
e s :



x = −1 + 2λ
y = 2 + 5λ
z = 4 + λ
e) r :
x− 2
3
=
y
2
=
−z + 4
1
e
s :



x = −1 + 2λ
y = 2 + 5λ
z = 4− λ
14. Determine a posição relativa, o ângulo e a
distância entre os planos:
a) π1 : 2x+3y− z +2 = 0 e π2 : 4x+6y−
2z = 0.
b) π1 : 2x− 3y = 0 e π2 : y − 2z + 8 = 0.
c) π1 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(3, 2,−1) +
t(1, 2, 0) e π2 : 2x− 3y = 0.
15. Determine a posição relativa (disposição,
ângulo e distância) entre a reta e o plano:
a) r : (x, y, z) = (1, 2,−1)+t(1,−2, 0), t ∈ R
e π : 2x + y − z − 2 = 0.
b) r :
x + 1
1
=
y + 2
2
e z = 0 e π : 2x+ y−
z = 0.
c) r :
{
x + y + z − 3 = 0
2x− z = 4 e π : 2x+ y−
z + 2 = 0.
16. Determine a posição relativa (disposição,
ângulo e distância) entre:
a) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3) +
λ(1, 0,−1) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +
λ(−2, 0, 2);
b) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 1, 2)
e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(−2, 0, 5);
c) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) +
λ(1, 3,−2) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +
λ(−2,−6, 4);
d) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 3, 1)
e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 3);
e) os planos π1 : 2x+5y− z = 0 e π2 : 2z−
4x− 10y + 3 = 0.
17. Encontrar o ângulo entre o plano 2x−y+z = 0
e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e
é perpendicular ao vetor ~v =~i + 2~j + ~k.
18. Seja π1 o plano que passa pelos pontos A =
(1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 1, 0) e π2
o plano que passa pelos pontos P − (0, 0, 1)
e Q = (0, 0, 0) e é paralelo ao vetor ~i + ~j.
Ache o ângulo entre π1 e π2.
19. Ache uma reta que passa pelo ponto (1,−2, 3)
e que forma ângulos de 45o e 60o com os eixos
x e y, respectivamente.
20. Obtenha os vértices B e C do triângulo
equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e
sabendo que o lado BC está contido na reta
r : (x, y, z) = t(0, 1,−1). Sugestão: Deter-
mine os pontos Pr da reta r tais que −−→PrA faz
ângulo de 60o (e 120o) com o vetor diretor da
reta r.
21. Seja π o plano que passa pela origem e é
perpendicular à reta que une os pontos A =
(1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância
do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π.
22. Seja r1 a reta que passa pelos pontos A =
(1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r2 a reta x − 2 =
y − 3
2
=
z − 4
3
.
a) Encontre as equações da reta perpendicu-
lar às retas r1 e r2;
b) Calcule a distância entre r1 e r2.
23. Dados A = (0, 2, 1), r : (x, y, z) = (0, 2,−2) +
t(1,−1, 2), ache os pontos de r que distam
√
3
de A. A distância do ponto A à reta r é maior,
menor ou igual a
√
3? Por que?
24. Dada a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1)
e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache
o ponto da reta r que está equidistante de A e
de B.
25. Encontre a equação do lugar geométrico dos
pontos equidistantes de A = (1,−1, 2) e B =
(4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de
AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?
26. Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2,−3) e
(x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4,−6). Encontre a
equação geral do plano que contem estas duas
retas.
27. Ache as equações dos planos em R3 (espaço
tridimensional) ortogonais ao vetor (2, 2, 2),
que distam
√
3 do ponto (1, 1, 1).
28. Obtenha uma equação geral do plano π, que
contém a reta r :
{
x− 2y + 2z = 0
3x− 5y + 7z = 0 e forma
com o plano π1 : x + z = 0 um ângulo de 60o.
29. Prove que o lugar geométrico dos pontos do
espaço que equidistam de dois pontos distintos
A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é um plano
que passa pelo ponto médio do segmento AB
e é perpendicular a ele. Este plano é chamado
de plano mediador do segmento AB.
30. Mostre que a distância de um ponto P0 =
(x0, y0, z0) a um plano π : ax+ by + cz +d = 0
é d(P0, π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
.
∗ ∗ ∗