Problemas de Geometria

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- **Explicação:** Use a relação \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x^2}) 
- 1 \) para encontrar o valor. 
 
237. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( 
(1+x+x^2+x^3)^{29} \)? 
 - **Resposta:** \( 10737418241 \) 
 - **Explicação:** Expanda \( (1+x+x^2+x^3)^{29} \) usando o binômio de Newton e some 
os coeficientes. 
 
238. **Problema:** Se \( \sin \theta = \frac{29}{25} \), qual é o valor de \( \cos 2\theta \)? 
 - **Resposta:** \( -\frac{116}{625} \) 
 - **Explicação:** Use identidades trigonométricas para expressar \( \cos 2\theta \) em 
termos de \( \sin \theta \). 
 
239. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( 
(1+x+x^2+x^3)^{30} \)? 
 - **Resposta:** \( 20589113262 \) 
 - **Explicação:** Expanda \( (1+x+x^2+x^3)^{30} \) usando o binômio de Newton e some 
os coeficientes. 
 
240. **Problema:** Se \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 19 \), qual é o valor de \( x^4 + \frac{1}{x^4} 
\)? 
 - **Resposta:** \( 14400 \) 
 - **Explicação:** Use a relação \( x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 \) para 
encontrar o valor. 
Claro, aqui estão 100 problemas de geometria desafiadores, cada um com resposta e 
explicação: 
 
1. **Problema:** Qual é a área de um triângulo equilátero com lado de comprimento \( s 
\)? 
 - **Resposta:** A área é \( \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 \). Explicação: A fórmula da área de um 
triângulo equilátero é \( \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 \), onde \( s \) é o comprimento do lado. 
 
2. **Problema:** Determine a área de um quadrado circunscrito a um círculo de raio \( r 
\). 
 - **Resposta:** A área é \( 8r^2 \). Explicação: O lado do quadrado é \( 2r \) e a área é \( 
(2r)^2 = 4r^2 \). Como são quatro triângulos congruentes de lado \( r \) dentro do 
quadrado, a área total é \( 4r^2 + 4r^2 = 8r^2 \). 
 
3. **Problema:** Qual é a área da maior circunferência que pode ser inscrita em um 
triângulo retângulo com pernas de comprimento \( a \) e \( b \)? 
 - **Resposta:** A área é \( \frac{ab}{2} \). Explicação: A maior circunferência inscrita em 
um triângulo retângulo tem raio igual à metade da altura do triângulo retângulo, cuja área 
é \( \frac{ab}{2} \). 
 
4. **Problema:** Um quadrado tem o dobro da área de um retângulo. Se o retângulo tem 
uma largura de \( 3 \) unidades, qual é a largura do quadrado? 
 - **Resposta:** A largura do quadrado é \( 3\sqrt{2} \) unidades. Explicação: Se a largura 
do retângulo é \( 3 \) unidades e o quadrado tem o dobro da área, então o lado do 
quadrado é \( 3\sqrt{2} \) unidades. 
 
5. **Problema:** Um cubo tem uma diagonal de comprimento \( d \). Qual é o volume do 
cubo? 
 - **Resposta:** O volume é \( \frac{d^3}{3\sqrt{3}} \). Explicação: A diagonal de um cubo 
de lado \( s \) é \( d = s\sqrt{3} \). Portanto, \( s = \frac{d}{\sqrt{3}} \) e o volume é \( \left( 
\frac{d}{\sqrt{3}} \right)^3 = \frac{d^3}{3\sqrt{3}} \). 
 
6. **Problema:** Determine a área de um hexágono regular com lado de comprimento \( s 
\). 
 - **Resposta:** A área é \( \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 \). Explicação: A fórmula da área de um 
hexágono regular é \( \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 \), onde \( s \) é o comprimento do lado. 
 
7. **Problema:** Qual é o volume de uma pirâmide com base quadrada, altura \( h \) e 
lado da base \( s \)? 
 - **Resposta:** O volume é \( \frac{s^2 h}{3} \). Explicação: O volume de uma pirâmide é 
\( \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} \). Para um quadrado, \( 
\text{Área da base} = s^2 \), então o volume é \( \frac{s^2 h}{3} \). 
 
8. **Problema:** Encontre a área da superfície de um cilindro circular reto com raio da 
base \( r \) e altura \( h \). 
 - **Resposta:** A área da superfície é \( 2\pi rh + 2\pi r^2 \). Explicação: A área da 
superfície de um cilindro é a soma da área das duas bases circulares \( 2\pi r^2 \) e da 
área lateral \( 2\pi rh \).