Problemas de Cálculo e Geometria

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Resposta: A equação do plano tangente é \( z = 2x + y - 1 \). 
 
37. Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \) com as condições iniciais \( 
y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 
 Resposta: A solução é \( y(x) = e^{-x} \). 
 
38. Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos(x)) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} 
\). 
 
 Resposta: O comprimento da curva é \( \ln(\sqrt{2}) \). 
 
39. Calcule a integral \( \iint_R (x+y) \, dA \), onde \( R \) é a região delimitada pelo 
paraboloide \( z = 4 - x^2 - y^2 \) e o plano \( z = 0 \). 
 
 Resposta: A integral é \( 0 \). 
 
40. Determine a área da região limitada pela curva \( r = \theta^2 \) no plano polar. 
 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{2} \). 
 
41. Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{\pi} \cos(x+y+z) \, dx \, dy \, dz \). 
 
 Resposta: A integral é \( 0 \). 
 
42. Encontre a equação do plano tangente à superfície \( z = xy^2 \) no ponto \( (2,1,4) \). 
 
 Resposta: A equação do plano tangente é \( z = 6x + 2y - 8 \).