Determine a solução geral da equação diferencial \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x. Resolvendo a equação diferencial linear. a) y(x) = Cx + x^2 - x b...

Para resolver essa equação diferencial linear, é necessário colocá-la na forma padrão \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), onde P(x) é o coeficiente de y e Q(x) é a função de x. Dada a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x \), podemos reescrevê-la como \( \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = x \). Agora, identificamos P(x) = -1/x e Q(x) = x. Para resolver essa equação, utilizamos o fator integrante dado por \( e^{\int P(x)dx} \), que neste caso é \( e^{\int -\frac{1}{x}dx} = e^{-ln|x|} = \frac{1}{x} \). Multiplicamos a equação diferencial por esse fator integrante e obtemos \( \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = 1 \). Agora, integrando ambos os lados, chegamos a \( \frac{1}{x}y = x + C \), onde C é a constante de integração. Assim, a solução geral da equação diferencial é \( y(x) = Cx + x^2 \). Portanto, a alternativa correta é: a) y(x) = Cx + x^2 - x.