Modelos de Crescimento Populacional

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RELATÓRIOS DAS APRESENTAÇÕES DOS SEMINÁRIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELOS PARA O CRESCIMENTO POPULACIONAL 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Grande parte do avanço matemático ocorreu em resposta às necessidades 
humanas, bem como à resolução de questões cotidianas que envolviam a 
Matemática como ferramenta para abordar problemas não exclusivamente 
ligados a essa área. Um exemplo notável é o Modelo de Malthus, que abordou 
a relação entre à produção de alimentos e o crescimento populacional. Esse 
modelo clássico foi apresentado em 1798 pelo economista inglês Thomas 
Malthus. O estudo do crescimento populacional é fundamental para entender as 
dinâmicas demográficas e os impactos sociais, econômicos e ambientais. 
 
Jequié/BA 
Junho/2024 
Importância do Estudo do Crescimento Populacional: O estudo do crescimento 
populacional éde extrema importância para compreender como as populações 
crescem e auxiliar no planejamento de políticas públicas, a sustentabilidade dos 
recursos naturais e a compreensão das mudanças demográficas. 
Taxa de Crescimento: A taxa de crescimento populacional varia entre países e 
regiões e depende de vários fatores como o nascimentos, mortes, migrações e 
fatores socioeconômicos. Modelos matemáticos, como o modelo exponencial ou 
o modelo logístico, ajudam a prever esse crescimento ao longo do tempo. 
Fatores que Afetam o Crescimento: A taxa de natalidade, pois quanto mais alta, 
maior o crescimento, a taxa de mortalidade e os fluxos migratórios são fatores 
essenciais que influenciam o tamanho da população. 
Consequências do Crescimento Exacerbado: O crescimento populacional 
excessivo pode levar à pressão sobre recursos, impactos ambientais negativos 
e desigualdades na distribuição de recursos. 
 
Thomas Robert Malthus 
 
Thomas (1766-1834) desenvolveu um ensaio em 1798 no qual criou um modelo 
para estimar o crescimento da população mundial. Nesse modelo, Malthus 
considerou algumas premissas, como a ideia de que casais sempre teriam 
muitos filhos, pois o sexo dentro do casamento era uma obrigação e tinha um 
propósito gerativo. Ele também afirmou que o fundo de subsistência dependia 
exclusivamente do trabalho agrícola e que seu valor determinava a quantidade 
de filhos. Quando a produção agrícola aumentava, o fundo também crescia, 
incentivando o aumento populacional. Por outro lado, se o valor do fundo 
diminuísse, haveria menos incentivo para o casamento precoce, resultando em 
uma taxa de crescimento populacional menor. Malthus aplicou equações 
diferenciais para prever o crescimento populacional, focando na relação entre 
produção de alimentos e natalidade. 
De acordo com o que Eduarda Valois apresentou, essa equação é representada 
como um problema de valor inicial da seguinte maneira: 
 
logo β é a taxa de crescimento populacional e P é a 
população em um dado momento. 
E a solução analítica desta equação diferencial é: 
 
 
Ao realizar a derivada de P com relação ao t (tempo), tem-se a solução do termo 
geral, como está representado a seguir: 
 
 
 
A partir da solução geral a cima, tem-se o problema de valor inicial (P.V.I): 
 
Substituindo no termo geral, obtem-se: 
 
 → → → →
 
 
 
 
 
 
 
 
Pierre François Verhulst 
 
Seu modelo é amplamente utilizado em várias áreas, como biologia, ecologia, 
economia, demografia e epidemiologia, devido à sua capacidade de capturar as 
complexidades do crescimento populacional. Robert May, em seu estudo 
clássico de 1976, destacou que esse modelo oferece uma representação precisa 
da dinâmica de crescimento populacional em ambientes com recursos limitados. 
Verhulst se tornou uma base essencial para a análise de sistemas complexos e 
para a compreensão de sua estabilidade. 
Os princípios fundamentais do Modelo de Verhulst, suas aplicações 
interdisciplinares e a importância de compreender e utilizar esse modelo na 
análise de sistemas que evoluem ao longo do tempo são aspectos relevantes. A 
matemática desempenha um papel crucial ao esclarecer os padrões complexos 
que regem o crescimento populacional e suas implicações práticas em nosso 
mundo em constante transformação. 
 
Seu modelo logístico foi definido como: 
 
 
 
Sendo a equação diferencial reescrita assim: 
 
 Logo após, separar as variáveis, decompor 
em frações parciais e integrar ambos os lados, 
obtem-se a solução geral: 
 
onde P0 é a população inicial no tempo t=0. 
 
Aplicação do modelo logístico: as aplicações são em diversas áreas como: 
Ecologia, economia, epidemiologia e gestão de recursos naturais. 
 
Benjamin Gompertz 
 
Foi um matemático e atuário judeu nascido em 1779 em Londres, na Inglaterra, 
desempenhou um papel fundamental nos estudos sobre mortalidade no século 
XIX. Ele demonstrou que a taxa de mortalidade da população segue um 
crescimento geométrico. Em 1825, apresentou uma lei que descrevia esse 
crescimento, avançando além das ideias de Thomas Malthus e aplicando-as ao 
cálculo de anuidades e seguros de vida. 
O modelo de Gompertz é uma equação diferencial que descreve o crescimento 
exponencial limitado de uma população ou sistema. Embora tenha sido 
inicialmente desenvolvido para estudar dinâmicas populacionais, esse modelo 
também encontra aplicações em outras áreas, como matemática educacional e 
biologia. No contexto do ensino de matemática, o modelo de Gompertz pode ser 
usado para ensinar diversos conceitos, desde os básicos até tópicos mais 
avançados. 
 
Com o objetivo de descrever o crescimento de tumores sólidos, Gompertz 
desenvolveu uma equação famosa que denominamos Modelo de Gompertz. 
Modelo matemático descrito em (Araújo et al 2016), pela EDO de variáveis 
separáveis 
 
 
Quando as populações estão abaixo da capacidade de carga (representada por 
K), elas tendem a se aproximar desse valor à medida que os ciclos de evolução 
temporal aumentam. Isso significa que, se a população de células tumorais 
estiver abaixo de K, ela tende a crescer em direção a esse limite. Por outro lado, 
se a população ultrapassou o valor de K, ela também tenderá a se estabilizar 
nesse limite. Em outras palavras, K é o valor máximo que o tumor pode atingir, 
e se N(t) (a quantidade de células tumorais) exceder K, com o tempo, N(t) se 
aproximará de K. 
 
 
• Pablo deu início à apresentação com algumas perguntas e introduziu 
citando os matemáticos Thomas Robert, Pierre François e Benjamin 
Gompertz. Em seguida, ele aprofundou-se na vida e obra de Thomas 
Robert. 
• Eduarda prosseguiu, abordando a equação que Malthus usava para 
definir a taxa de crescimento populacional. Ela explicou a derivada da 
função P em relação ao tempo, apresentou a solução geral e exemplificou 
o modelo de Malthus, relacionando-o com a população de Jequié em um 
determinado ano e projetando os números para os anos seguintes. 
• Elylian Sara discutiu o modelo logístico e suas aplicações. 
• André Raimundo compartilhou informações sobre Benjamin Gompertz. 
• Por fim, André Eduardo apresentou o modelo matemático descrito pela 
Equação Diferencial Ordinária (EDO) de variáveis separáveis. 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
 
A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa usada no 
tratamento de equações diferenciais lineares e na análise de sistemas 
dinâmicos. Ela foi introduzida por Pierre-Simon Laplace no século XVIII. Essa 
transformada converte equações diferenciais do domínio do tempo em equações 
algébricas no domínio da frequência, simplificando a resolução. 
Pierre-Simon Laplace, autor da "Teoria Analítica das Probabilidades" 
estabeleceu as bases matemáticas modernas e foi o pioneiro na definição da 
transformada que leva seu nome. Ele usou esta modificação para resolver 
equações diferenciais lineares, bem como problemas de física, matemática e 
engenharia. Embora não tenha uma única matemática responsável pelo 
desenvolvimento da Transformada de Laplace, ao longo do tempo, outros 
matemáticos e cientistasajudaram a aprimorar e popularizar esta estratégia, 
como: 
 
Joseph Fourier que embora seja mais famoso por sua Transformada de Fourier, 
também contribuiu significativamente para séries, transformadas e integrais. 
Essas contribuições abriram o caminho para o desenvolvimento da 
Transformada de Laplace. Laplace e outros matemáticos foram influenciados por 
sua obra na teoria do calor e nas séries 
infinitas, na época. 
 
Augustin-Louis Cauchy desempenhou um papel fundamental na análise 
matemática rigorosa de séries e integrais. Suas contribuições na teoria das 
funções de variáveis complexas foram essenciais para a formalização de 
conceitos utilizados na Transformada de Laplace. 
 
Oliver Heaviside foi um físico e engenheiro britânico, que além de simplificar 
vários métodos e conceitos de Laplace, os tornando mais acessíveis e aplicáveis 
na engenharia, Heaviside aplicou aplicou a Transformada de Laplace à teoria 
dos circuitos elétricos. 
 
Thomas Joannes Stieltjes um matemático holandês que contribuiu para a criação 
de métodos matemáticos fundamentais para analisar transformadas integrais. 
Ele contribuiu para a teoria de Stieltjes de frações integrais e continuadas. 
 
Representação: 
 
Na fórmula de representação o seu objetivo é multiplicar função f(t) por e-st , e 
em seguida, integrar de 0 ao infinito. Além de que a resolução de problemas com 
equações diferenciais é facilitada pela transformação que transforma f(t) em uma 
função de s. 
 
 
 
Aplicações: 
 
A Transformada de Laplace é uma ferramenta versátil e poderosa, devido a sua 
ampla área aplicações, como alguns pontos abaixo: 
 
• Engenharia de Controle 
• Engenharia Elétrica e Eletrônica 
• Sistemas Lineares 
• Processamento de Sinais 
• Mecânica e Dinâmica dos Sistemas 
• Química e Engenharia Química 
• Matemática Aplicada 
• Análise de Sistemas de Comunicação 
• Física 
 
 
Transformada inversa: 
 
A transfromada inversa é representada por essa expressão e permite que os 
resultados no domínio complexo sejam convertidos para o domínio do tempo, 
onde a interpretação física se torna mais clara. 
 
 
 
Sinal Degrau: 
 
De acordo com Clara Costa, o sinal de degrau é denotado por 𝑢(𝑡) ou θ(t) e é 
uma função que representa uma transição inesperaada entre dois valores, 
geralmente usado para modelar entradas ou mudanças rápidas e inesperadas 
em sistemas. Seu uso é bem frequente em análises de sistemas de controle e 
circuitos para representar ativação repentina. Sendo assim, o sinal de degrau é 
essencial para estudar respostas transitórias e comportamentos dinâmicos de 
sistemas físicos e de engenharia. 
 
Sinal Degrau Deslocado: 
 
O sinal de degrau deslocado, frequentemente denotado como 𝑢(𝑡−𝑎), é uma 
variação do sinal de degrau unitário 𝑢(𝑡). Sendo definido como: 
 
 
 
Transformada de Laplace do sinal degrau é dada por: 
 
 
 
Transformada de Laplace de derivadas: 
 
A derivada da transformada de Laplace simplifica de forma significativa a análise 
e solução de equações diferenciais, fornecendo uma maneira direta de 
relacionar derivadas no domínio do tempo com operações no domínio de 
Laplace. Esta propriedade é fundamental na teoria de controle, na análise de 
sistemas dinâmicos e em várias áreas da engenharia e física. 
 
A Transformada de Laplace da primeira derivada 𝑓′(t) é dada por 
 
 
 
Já para a segunda derivada 𝑓 ′′ (t), a Transformada de Laplace é 
 
 
 
 
Essas fórmulas é extremamente útil na solução de equações diferenciais, pois 
transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. 
 
Elisson falou do teorema de Laplace de derivadas, a respeito da derivada de 
primeira ordem e de segunda aplicando-a na transformada de Laplace, 
calculando um exemplo, alem da transformada inversa de Laplace de fração 
parciais. 
 
Delta de Dirac e teoria da convolução: 
 
O Delta de Dirac, que é denotado por δ(t), é uma função que apresentam 
algumas propriedades, como o caso que δ(t) é zero em todos os pontos, exceto 
em t=0 que uma singularidade e a área em que integral de δ(t) sobre todo o eixo 
dos tempos é igual a 1: 
 
E a amostragem para qualquer função f(t) contínua em t=0. 
 
 
 
A convolução de duas funções 𝑓(𝑡) e 𝑔(𝑡) é uma operação matemática que 
produz uma terceira função, que é (𝑓∗𝑔)(𝑡). Definida por 
 
 
 Como Daniel Vitor citou, além de explicar o spin dos elétrons, também previu a 
existência da antimatéria. 
 
 
Teorema da derivada da transformada: 
 
Wesley fez um exemplo no quadro a respeito da derivada da transfromada. A 
derivada da transformada, essa propriedade é particularmente útil quando 
precisamos calcular a Transformada de Laplace de expressões envolvendo 
potências de t. Em outras palavras, se conhecemos a Transformada de Laplace 
de f(t), podemos encontrar a Transformada de Laplace de tn f(t) diferenciando 
F(s) n vezes e multiplicando por (−1)n. 
 
 
 
 
 
• Leticia iniciou a apresentação abordando uma introdução ao teorema e 
seus principais contribuintes. 
• Clara discutiu suas aplicações em áreas como engenharia e química. 
• Em seguida, Leticia demonstrou a transformada inversa de Laplace com 
exemplos. 
• Clara então explicou o sinal degrau, o sinal degrau deslocado e a 
transformada de Laplace com sinal degrau, finalizando com o teorema do 
deslocamento. 
• Elysson continuou a discussão sobre o teorema do deslocamento com 
exemplos de primeira e segunda derivada, além de abordar a 
transformação inversa de Laplace de frações parciais. 
• Daniel apresentou sobre o delta de Dirac e a teoria da convolução. 
• Wesley encerrou a apresentação explicando a derivada da transformada, 
utilizando o quadro para ilustrar e exemplificar suas explicações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÉRIE DE FOURIER 
 
 
 INTRODUÇÃO 
 
Jean-Baptiste Joseph Fourier, nascido na França, foi um físico e matemático 
renomado por suas contribuições nas séries matemáticas, especialmente a Série 
de Fourier. Ele viveu entre 1768 e 1830, tendo participado da Revolução 
Francesa e servido como conselheiro científico durante a expedição de 
Napoleão ao Egito. Fourier também é conhecido por seus estudos sobre o efeito 
estufa e a teoria de transferência de calor 
 
Um pouco sobre a base teorica e a definição: 
 
A Série de Fourier é uma maneira de decompor uma função periódica em uma 
soma de funções seno e cosseno. Esta técnica é essencial para análise e 
solução de problemas em física e engenharia, particularmente em equações 
diferenciais parciais. Fourier observou que parte da energia irradiada pela Terra 
é retida pelos gases atmosféricos, formulando assim a primeira modelagem do 
efeito estufa. 
Sua equação inclui elementos que representam a irradiação de calor da Terra e 
a retenção pelos gases. A temperatura média global, inicialmente modelada por 
Fourier, passou por refinamentos ao longo do tempo. Além disso, Fourier 
desenvolveu as séries de Fourier para decompor funções periódicas em senos 
e cossenos. 
 
 
Os coeficientes presentes na equação determinam a amplitude das ondas seno 
e cosseno que formam a função original anterior e são eles: 
 
 
Para que uma série de Fourier converja para uma função f(x), esta deve ser 
periódica, integrável no intervalo de um período, ter um número finito de máximos 
e mínimos, e um número finito de descontinuidades em um período. 
 
Na convergência da Série de Fourier, para que a série de Fourier de uma função 
f(x) converja corretamente, algumas condições, que são chamadas de condições 
de Dirichlet, devem ser atendidas como: a função 𝑓(𝑥)precisa ser periódica, 𝑓(𝑥) 
deve ser integrável em um período completo, a função deve ter um número 
limitado de máximos e mínimos dentro de um período e deve haver um número 
finito de descontinuidades em cada período. 
 
Aplicações em Equações Diferenciais Parciais (EDPs), que são as séries de 
Fourier são ferramentas importantes na resolução de equações diferenciais 
parciais, e são frequentemente encontradas em problemas de físicae 
engenharia. 
Funções Pares é considerada par se, ao substituir x por −x, o valor da função 
permaneça o mesmo, ou seja, f(−x) = f(x). Exemplos que incluem a função 
quadrática f(x)=x2 e a função cosseno cos(x). 
 
 
 
Funções Ímpares é dita ímpar se, ao substituir x por −x, o valor da função mudar 
de sinal, isto é, f(−x)= −f(x). Os exemplos que incluem a função cúbica y=x3 e a 
função seno sin(x). 
 
 
As funções Contínuas por Partes é contínua por partes se for contínua exceto 
em alguns pontos finitos, onde pode ter descontinuidades do tipo salto. 
 
Teorema da Convergência de Fourier estabelece que a série de Fourier 
converge para a função 𝑓(𝑥) nos pontos onde a função é contínua e para o valor 
médio nos pontos de descontinuidade. Funções contínuas por partes, que têm 
saltos em alguns pontos, são um exemplo de aplicação deste teorema. 
 
Além disso, o teorema da convergência de Fourier é usado para garantir que 
métodos baseados em séries de Fourier são aplicáveis a uma ampla gama de 
funções, incluindo aquelas que modelam fenômenos físicos com 
descontinuidades, como ondas quadradas e outras formas de onda complexas. 
 
Aplicações da Série de Fourier, são utilizadas para resolver equações 
diferenciais parciais, como a equação do calor e a equação da onda. Elas 
permitem transformar problemas complexos em problemas mais simples, 
solucionáveis por métodos analíticos ou numéricos. Por exemplo, a série de 
Fourier de uma função 𝑓(𝑡)=𝑡 no intervalo −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 é calculada decompondo a 
função em termos de seno e cosseno. 
 
De acordo com o que Keven Magalhães abordou, em funções Periódicas, uma 
função 𝑓(𝑥) é considerada periódica se existe um valor constante 𝑇 tal que 𝑓(𝑥 + 
𝑇) = 𝑓(𝑥) para todos os valores de 𝑥. Este valor 𝑇 é conhecido como o período 
da função. 
Exemplos de Funções Periódicas: 
Função Seno, onde o sin(𝑥) é uma função periódica com período 2𝜋, o que 
significa que sin(𝑥+2𝜋)=sin(𝑥). 
Já a função Cosseno, o cos(𝑥) também é periódica com o mesmo período 2𝜋, 
então cos(𝑥+2𝜋)= cos(𝑥). 
E a função Tangente, o tan(𝑥) possui um período menor, 𝜋, ou seja, tan(𝑥+𝜋)= 
tan(𝑥). 
E algumas das propriedades das funções periódicas: é repetição onde o principal 
traço das funções periódicas é a repetição de seus valores em intervalos 
regulares. Ondas e Oscilações em que muitas funções periódicas são usadas 
para modelar fenômenos oscilatórios, como ondas sonoras e eletromagnéticas. 
E a decomposição em Séries de Fourier, na qual as funções periódicas podem 
ser representadas como uma soma infinita de senos e cossenos com diferentes 
frequências e amplitudes, conhecida como Série de Fourier. 
A grande importância do teorema é fato que ele define como as séries de Fourier 
lidam com descontinuidades e garante que, mesmo em pontos onde a função 
original não é suave, a série de Fourier ofereça uma representação útil e precisa. 
 
• Martha iniciou a apresentação com uma introdução sobre Jean Fourier, 
destacando o contexto histórico e os fundamentos teóricos de seu 
trabalho.Ela explicou os coeficientes de Fourier e representou 
graficamente funções pares e ímpares. 
• Em seguida, Hairle discutiu funções contínuas por partes, usando 
gráficos para ilustrar e falou sobre o teorema da convergência da série de 
Fourier. 
• Maria Paula detalhou a aplicação das funções par e ímpar na série de 
Fourier, mostrando gráficos de séries de senos e cossenos. 
• Finalmente, Keven abordou as funções periódicas, demonstrou a série de 
Fourier para a função f(x)=x = x e destacou suas principais aplicações 
práticas. 
 
 
APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
 
 
 
INTRODUÇÃO E CONTEXTO HISTÓRICO 
 
As equações diferenciais de segunda ordem desempenham um papel crucial na 
modelagem de fenômenos físicos e naturais. Desde os tempos de Isaac Newton 
e Gottfried Leibniz, estas equações têm sido utilizadas para descrever mudanças 
em sistemas dinâmicos, onde a taxa de variação de um fenômeno é uma variável 
essencial. Com o desenvolvimento de técnicas matemáticas ao longo dos 
séculos, incluindo as contribuições significativas dos irmãos Bernoulli e de 
Leibniz, as equações diferenciais tornaram-se ferramentas fundamentais para 
resolver problemas complexos em diversas áreas. 
Nas últimas décadas, as aplicações das equações diferenciais de segunda 
ordem têm sido amplamente exploradas em áreas como física, química, 
economia e engenharia. Estas equações são utilizadas para modelar sistemas 
onde as taxas de variação de variáveis dependentes são críticas para entender 
a dinâmica do sistema. Por exemplo, na física, as equações diferenciais são 
usadas para descrever o movimento de partículas e ondas; na economia, para 
modelar o crescimento econômico e flutuações de mercado; e na engenharia, 
para analisar sistemas de controle e circuitos elétricos. 
As equações diferenciais de segunda ordem são classificadas em ordinárias 
(EDOs) e parciais (EDPs). As EDOs envolvem derivadas em relação a uma única 
variável independente, enquanto as EDPs envolvem derivadas em relação a 
múltiplas variáveis independentes. Além disso, elas podem ser homogêneas ou 
não homogêneas, dependendo da presença ou ausência de termos 
independentes. 
 
Definições e Classificações 
Uma equação diferencial envolve derivadas de uma ou mais variáveis 
dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes. As equações 
diferenciais podem ser classificadas em duas categorias principais: ordinárias 
(EDOs) e parciais (EDPs). 
 
Uma EDO é uma equação que contém derivadas de uma função com relação a 
uma única variável independente. Um exemplo geral de uma EDO de segunda 
ordem é representada pela seguinte equação: 
 
 
Ela será homogênea quando 𝑔(𝑥) = 0, e será não homogênea quando 
𝑔(𝑥) ≠ 0. 
 
Já uma EDP envolve derivadas parciais de uma função em relação a duas ou 
mais variáveis independentes. Um exemplo comum de uma EDP de segunda 
ordem pode ser representada pela seguinte equação: 
 
 
Neste caso ela será homogênea se 𝑓(𝑥,𝑦)= 0, e não será homogênea se 𝑓(𝑥,𝑦) 
≠ 0. 
 
O Movimento Harmônico Simples (MHS) é um exemplo clássico de aplicação de 
equações diferenciais de segunda ordem é o (MHS) que descreve sistemas 
oscilatórios como a massa presa a uma mola. Sendo a equação diferencial do 
MHS é dada pela seguinte expressão que a descreve: 
 
onde mmm é a massa do objeto, k é a constante da mola, e x(t) é o deslocamento 
em função do tempo. A solução geral desta equação é : 
 
 
Além disso, outro caso importante é o oscilador amortecido, onde uma força de 
atrito proporcional à velocidade é considerada. Dada pela equação diferencial 
que descreve este sistema : 
 
 
Circuitos Elétricos RLC 
 
São sistemas que consistem em componentes elétricos conectados, como 
resistores, indutores e capacitores. A classificação dos circuitos é determinada 
pelos tipos de componentes e sua disposição. 
Um circuito RLC série: contém um resistor (R), um indutor (L) e um capacitor (C) 
conectados em série. Esse tipo de circuito é descrito por uma equação diferencial 
de segunda ordem. A análise de circuitos RLC série pode ser feita utilizando a 
equação diferencial: 
 
 
Onde o 𝑖(𝑡) representa a corrente no circuito, 𝐿 é a indutância do indutor, 𝑅 é a 
resistência do resistor, e 𝐶 é a capacitância do capacitor. 
 
Já o circuito RLC Paralelo: os componentes resistor, indutor e capacitor são 
conectados em paralelo. A equação diferencial que descreve este circuito é 
semelhante à do circuito série, mas as variáveis e os parâmetros são ajustados 
para refletir a configuração do circuito paralelo: 
 
O 𝑣(𝑡) representa a tensão no circuito. Ao analisar o circuito RLC paralelo segue 
os princípios similares ao circuito série, mas seu foco é na tensão ao invés da 
corrente. 
 
• Isabela começou a apresentação abordando Isaac Newton, Gottfried 
Leibniz e os irmãos Bernoulli, explicando o contexto histórico e mostrando 
aplicações das equações diferenciaisde segunda ordem com imagens 
sobre o MHS(movimento harmônico simples). 
• João Felipe definiu e classificou essas equações, explicou como resolvê-
las e apresentou um exemplo utilizando séries de potência. 
• Camilly discutiu as aplicações dessas equações, como o Movimento 
Harmônico Simples (MHS), e explicou a solução para a equação 
diferencial e a equação linear harmônica, incluindo o caso do harmônico 
forçado. 
• Martielly detalhou o Movimento Harmônico Simples e o movimento 
harmônico forçado. 
• Enquanto Jorge explicou sobre os circuitos elétricos, incluindo os circuitos 
paralelos.