126. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x \) com a condição inicial \( y(1) = 1 \). a) \( y = x^2 + \fra...

Para resolver essa equação diferencial, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Vamos seguir os passos: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x \] Separando as variáveis, temos: \[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} + dx \] Integrando ambos os lados, obtemos: \[ \ln|y| = \ln|x| + \frac{x^2}{2} + C \] Onde \( C \) é a constante de integração. Podemos simplificar essa expressão combinando os logaritmos: \[ \ln|y| = \ln|x| + \frac{x^2}{2} + C \] \[ \ln|y| = \ln|x| + \ln(e^{\frac{x^2}{2}}) + C \] \[ \ln|y| = \ln|x \cdot e^{\frac{x^2}{2}}| + C \] \[ \ln|y| = \ln|x \cdot e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^C| \] \[ \ln|y| = \ln|Cx \cdot e^{\frac{x^2}{2}}| \] Aplicando a exponencial em ambos os lados, temos: \[ y = Cx \cdot e^{\frac{x^2}{2}} \] Agora, podemos usar a condição inicial \( y(1) = 1 \) para encontrar o valor de \( C \): \[ 1 = C \cdot 1 \cdot e^{\frac{1^2}{2}} \] \[ 1 = C \cdot e^{\frac{1}{2}} \] \[ C = e^{-\frac{1}{2}} \] Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: \[ y = e^{-\frac{1}{2}}x \cdot e^{\frac{x^2}{2}} = e^{\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}}x \] Analisando as opções fornecidas: a) \( y = x^2 + \frac{1}{x} \) - Incorreta b) \( y = x^2 - \frac{1}{x} \) - Incorreta c) \( y = x^2 + x \) - Incorreta d) \( y = x^2 - x \) - Incorreta Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.