9. Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n\). A série converge. Use o teste da razão ou a comparaçã...

Para determinar a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n\), podemos utilizar o teste da razão. Calculando o limite da razão entre os termos consecutivos da série, temos: \[ \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{\left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n} \right| \] Simplificando a expressão, obtemos: \[ \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{\left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n} \right| = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{\left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n} \cdot \frac{n+1}{n+2}}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n} \right| \] Após simplificações adicionais e cálculos, chegamos ao limite: \[ \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{\left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n} \cdot \frac{n+1}{n+2}}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n} \right| = \frac{1}{e} < 1 \] Como o limite é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge.