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27. Determine o valor de \( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} \). 
 - Resposta: \( 1 \) 
 - Explicação: Soma telescópica da série. 
 
28. Qual é a área da região limitada pela curva \( y = \sqrt{x} \), o eixo \( x \) e as linhas \( x = 
0 \) e \( x = 4 \)? 
 - Resposta: \( 8 \) unidades quadradas 
 - Explicação: Integral da função \( \sqrt{x} \) de 0 a 4. 
 
29. Calcule o valor de \( \int \cos^3 x \, dx \). 
 - Resposta: \( \frac{\sin x + \sin^3 x}{3} + C \) 
 - Explicação: Integral da função \( \cos^3 x \). 
 
30. Qual é o valor de \( \sin 75^\circ \)? 
 - Resposta: \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) 
 - Explicação: Utilizando as fórmulas 
 
 de ângulos compostos. 
 
31. Determine o valor de \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n \). 
 - Resposta: \( 1 \) 
 - Explicação: Limite fundamental relacionado à base do número de Euler. 
 
32. Qual é o valor de \( \int \frac{x^3}{(1+x^2)^2} \, dx \)? 
 - Resposta: \( \frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2}\arctan(x) + C \) 
 - Explicação: Integral da função racional. 
 
33. Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} \). 
 - Resposta: \( \frac{3}{5} \) 
 - Explicação: Aplicação da forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). 
 
34. Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{10} k^3 \). 
 - Resposta: \( 3025 \) 
 - Explicação: Soma dos cubos dos primeiros 10 números naturais. 
 
35. Qual é o valor de \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \)? 
 - Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{x+1}{\sqrt{2}} \right) + C \) 
 - Explicação: Integral da função racional. 
 
36. Calcule o valor de \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \). 
 - Resposta: \( 1 \) 
 - Explicação: Soma telescópica da série. 
 
37. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\tan 3x} \)? 
 - Resposta: \( \frac{5}{3} \) 
 - Explicação: Aplicação da forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). 
 
38. Determine o valor de \( \int_0^1 x \ln x \, dx \). 
 - Resposta: \( -\frac{1}{4} \) 
 - Explicação: Integral da função \( x \ln x \) de 0 a 1. 
 
39. Calcule o valor de \( \int \frac{e^x + 1}{e^x} \, dx \). 
 - Resposta: \( x + e^x + C \) 
 - Explicação: Integral da função racional. 
 
40. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \)? 
 - Resposta: \( 0 \) 
 - Explicação: Limite fundamental. 
 
41. Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)} \). 
 - Resposta: \( 1 - \frac{1}{101} \) 
 - Explicação: Soma telescópica da série.