Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 4x} \). A) O limite é \( \frac{3}{4} \). B) O limite não existe. C) O limite é \( \frac...

Para determinar o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 4x} \), podemos utilizar propriedades trigonométricas para simplificar a expressão. Sabemos que \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). Vamos substituir \( \tan 3x \) por \( \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \) e simplificar a expressão: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin 4x} \). Agora, podemos simplificar a expressão: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \). Portanto, o valor do limite é \( \frac{3}{4} \). A alternativa correta é A) O limite é \( \frac{3}{4} \).