Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \). a) O limite é \( \frac{3}{4} \). b) O limite é \( \frac{1}{2} \). c) O limite n...

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \), podemos utilizar propriedades trigonométricas para simplificar a expressão. Sabemos que \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Substituindo isso na expressão do limite, temos: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}} \). Podemos simplificar essa expressão multiplicando pelo inverso da divisão, resultando em: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cdot \cos 2x}{\sin 2x} \). Agora, podemos usar a identidade trigonométrica \( \sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \) para expandir \( \sin 3x \cdot \cos 2x \) como \( \sin(3x + 2x) = \sin 5x \). Assim, a expressão do limite se torna: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x} \). Agora, podemos simplificar essa expressão dividindo pelo \( x \), resultando em: \( \lim_{x \to 0} \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \). Portanto, o limite é \( \frac{5}{2} \). Assim, a alternativa correta é: c) O limite é \( \frac{5}{2} \).