Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 4x} \). a) O limite é \( \frac{3}{4} \). b) O limite não existe. c) O limite é \( \frac...

Para determinar o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 4x} \), podemos utilizar propriedades trigonométricas e limites fundamentais. Vamos analisar a expressão: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 4x} \] Sabemos que \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Portanto, podemos reescrever a expressão da seguinte forma: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{\sin 4x} \] Simplificando, obtemos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin 4x} \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x \cdot \sin 4x} \] Agora, podemos aplicar o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x \cdot \sin 4x} = \frac{\sin 0}{\cos 0 \cdot \sin 0} = \frac{0}{1 \cdot 0} = 0 \] Portanto, o limite da expressão é 0. Logo, a alternativa correta é: b) O limite não existe.