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51. **Cálculo Diferencial:** 
 - Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\cosh x) \). 
 - Resolução: \( f'(x) = \tanh x \). 
 
52. **Cálculo Integral:** 
 - Problema: Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - Resolução: Faça a substituição \( u = 1 - x^2 \), então \( du = -2x \, dx \). A integral se 
torna \( -\sqrt{1 - x^2} + C \). 
 
53. **Geometria Analítica:** 
 - Problema: Determine a equação do plano que contém a reta dada por \( \frac{x - 1}{2} = 
\frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{3} \) e é perpendicular à reta \( x = 1 + t, \; y = 2 - t, \; z = 3 + 3t \). 
 - Resolução: A equação é \( 2x - y + 3z = 9 \). 
 
54. **Álgebra Linear:** 
 - Problema: Determine a dimensão da imagem da matriz \( I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 
2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \). 
 - Resolução: A imagem (ou espaço coluna) é o espaço gerado pelas colunas da matriz. 
Aqui, é o espaço gerado pelo vetor \( (1, 2)^T \), então a dimensão é 1. 
 
55. **Cálculo Diferencial:** 
 - Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{\sin x} \). 
 - Resolução: \( g'(x) = \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x}} \). 
 
56. **Cálculo Integral:** 
 - Problema: Calcule \( \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} \, dx \). 
 - Resolução: Faça a substituição \( u = \sin x \), então \( du = \cos x \, dx \). A integral se 
torna \( -\cot x + C \). 
 
57. **Geometria Analítica:** 
 - Problema: Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (1, 2, -1) \) e é paralela 
ao plano \( 2x + y - z = 4 \). 
 - Resolução: A equação é \( 2(x - 1) + (y - 2) - (z + 1) = 0 \). 
 
58. **Álgebra Linear:** 
 - Problema: Verifique se a matriz \( J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) é 
diagonalizável. 
 - Resolução: A matriz é diagonalizável se tiver \( n \) autovetores linearmente 
independentes, onde \( n \) é a ordem da matriz. Aqui, \( J \) não tem dois autovetores 
linearmente independentes, então não é diagonalizável. 
 
59. **Cálculo Diferencial:** 
 - Problema: Encontre a derivada de \( h(x) = \arcsin(\cos x) \). 
 - Resolução: \( h'(x) = -\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos^2 x}} = -\frac{\sin x}{|\sin x|} \). 
 
60. **Cálculo Integral:** 
 - Problema: Calcule \( \int \frac{1}{x \ln x} \, dx \). 
 - Resolução: Faça a substituição \( u = \ln x \), então \( du = \frac{dx}{x} \). A integral se 
torna \( \ln |\ln x| + C \). 
 
61. **Geometria Analítica:** 
 - Problema: Determine a equação do plano que contém os pontos \( A(1, 2, 3) \), \( B(2, 
3, 4) \), e \( C(0, 0, 1) \). 
 - Resolução: A equação é \( x - y + z = 0 \). 
 
62. **Álgebra Linear:** 
 - Problema: Verifique se os vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, 3) \), \( \mathbf{v} = (2, 4, 6) \), e 
\( \mathbf{w} = (3, 6, 9) \) são linearmente independentes. 
 - Resolução: Os vetores são linearmente dependentes, pois \( \mathbf{w} = 3 
\mathbf{u} \). 
 
63. **Cálculo Diferencial:** 
 - Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\cosh x) \). 
 - Resolução: \( f'(x) = \tanh x \). 
 
64. **Cálculo Integral:**