Apol 1 - Geometria Diferencial

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Apol 1 - Geometria Diferencial 
 
Questão 1 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria local das curvas e seja o 
vetor unitário v∈ R2 e consideremos a reta α(t)=a+tv, b∈ R. 
Assinale a alternativa que representa função de curvatura de α. 
 
 
A κ(t)=a 
 
B κ(t)=1 
 
C κ(t)=0 
Esta é a afirmativa correta. 
A curvatura é dada por 
 
 
Calculamos as derivadas: α´(t)=v e α´´(t)=0. Como a derivada segunda é zero, 
o produto vetorial também é zero. Então, κ(t)=0. 
(livro-base p. 13-20). 
 
D κ(t)=a+|v| 
 
 
 
E κ(t)=v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base geometria diferencial sobre teoria local das curvas, considere 
a curva parametrizada 
 
Assinale a alternativa que representa a função curvatura e a de torção de α: 
 
 
A 
 
 
B 
 
Você acertou! 
 
 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
 
Questão 3 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre superfícies regulares e a 
superfície definida por ϕ(u,v)=(vcosu,vsenu,u), assinale a alternativa que representa os coeficientes 
da primeira forma fundamental para ϕ. 
 
 
A E=1+u
2
 
F=0 
G=1 
 
B E=1+u
2
 
F=0 
G=v2+u
2
 
 
C E=v
2
+u
2
 
F=0 
G=v+u 
 
D E=1+v
2
 
F=0 
G=1 
Esta é a alternativa correta. 
 
Cálculo das derivadas parciais: 
ϕu=(−vsenu,vcosu,1) 
ϕv=(cosu,senu,0) 
 
Cálculo dos coeficientes: 
E=<ϕu,ϕu>=v
2
sen
2
u+v
2
cos
2
u+1=v
2
+1 
F=<ϕu,ϕv>=−vcosusenu+vcosusenu+0=0 
G=<ϕv,ϕv>=cos
2
u+sen
2
u=1 
 
(livro-base, p. 74-78). 
 
E E=1+u
2
 
F=0 
G=v+1 
 
 
 
Questão 4 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre superfícies regulares e a forma 
parametrizada dada por σ(u,v)=(acosu+rcosvcosu,asenu+rcosvsenu,bsenv) e os coeficientes da 
primeira e segunda forma fundamental dados a seguir, assinale a afirmativa que representa a curvatura 
gaussiana e a curvatura média. 
 
 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
Esta é a afirmativa correta. Primeiro devemos determinar dNp: 
 
 
Questão 5 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria local das curvas, leia as 
seguintes afirmativas e marque V para as afirmações verdadeira e F para as afirmações falsas. 
I. ( ) Seja a superfície definida por S={(x,y,z) ∈ R3 : x2+y2=1+z2} é uma superfície 
regular. 
II. ( ) Um plano da forma z=ax+by é uma superfície regular. 
III. ( ) O comprimento de arco da curva parametrizada α(t)=r(sent,cost), entre t=0 e t=2π 
mede 2π 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
A V – V – F 
A sequência correta é: V – V – F. 
A afirmativa I é verdadeira, pois o gradiente de 
 
 
o qual se anula apenas em (0,0,0) não pertence a superfície ff e portanto 1 é um 
valor regular de f. 
 
A afirmativa II é verdadeira. Considere f:R→R3 com 
 
 é suave e sua inversa é 
, que é contínua. 
Também temos que os vetores da jacobiana de f são linearmente independentes 
 
A afirmativa III é falsa, pois:α´(t)=r(cost,−sent) e 
então 
 
(livro-base p. 42-54) 
 
B V – F – F 
 
C F – V – V 
 
D V – F – V 
 
E F – F – V 
 
 
 
Questão 6 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre área de superfícies, e a 
superfície regular S, parametrizada em coordenadas esféricas, dada 
por ϕ(u,v)=(r senu cosv,r senu senv,r cosv), assinale a alternativa que representa a área da 
superfície ϕ delimitada pela região 0<u<π e 0<v<2π. 
 
Sugestão: utilize os coeficientes da primeira forma fundamental para obter a área. 
 
 
A πr
2
 
 
B 2πr 
 
C 4πr 
 
D 2π
2
r
2
 
 
 
E 2πr
2
 
 
Esta é a afirmativa correta. 
A área pode ser determinada por A(D)=∫∫D|ϕr×ϕθ|drdθ. 
Então, calculamos as derivadas parciais: 
 
ϕu=(rcosu cosv,rcosu senv,−rsenu)) 
ϕv=(−rsen usenv,rsenu cosv,0) 
 Os coeficientes: 
 
E=r
2
 
F=0 
G=r
2
sen
2
u 
 
Cálculo da área 
 
 
 
 
(livro-base, p. 78-82). 
 
 
 
Questão 7 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre superfícies regulares e seja o 
paraboloide z=x2+y2 parametrizado por ϕ(u,v)=(vcosu,vsenu,v
2
). Dados os coeficientes da 
primeira e segunda forma fundamental, assinale a alternativa que representa a função curvatura 
gaussiana. 
 
Dados: 
E=v
2
 
F=0 
G=1+4v
2
 
 
f=0 
 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
Esta é a alternativa correta. 
Cálculo da curvatura gaussiana: 
 
(livro-base, p. 85-90). 
 
D 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 8 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre superfícies regulares, assinale a 
afirmativa que representa a forma paramétrica da esfera x2+y2+z2=16. 
Sugestão: em coordenadas esféricas, temos que x=a senϕ cosθ, y=a senϕ senθ e z=a cosϕ. 
 
 
A α(ϕ,θ)=(4 senϕ cosθ,4 senϕ senθ,4 cosϕ) 
Esta é a afirmativa correta, pois x=a senϕ cosθ, y=a senϕ senθ e z=a cosϕ 
e a=√16 =4 
 
⇒α(ϕ,θ)=(4 senϕ cosθ,4 senϕ senθ,4 cosϕ) 
 
(livro-base, p. 56-62). 
 
B α(ϕ,θ)=(2 senϕ cosθ,2 senϕ senθ,2 cosϕ) 
 
C α(ϕ,θ)=(16 senϕ cosθ,16 senϕ senθ,16 cosϕ) 
 
D α(ϕ,θ)=(64 senϕ cosθ,16 senϕ senθ,16 cosϕ) 
 
E α(ϕ,θ)=1/16( senϕ cosθ, senϕ senθ, cosϕ) 
 
 
 
Questão 9 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre a segunda forma fundamental de 
uma superfície regular S, denominada hiperboloide hiperbólico, definida por ϕ(u,v)=(u,v,uv). Assinale 
a alternativa que representa os coeficientes da segunda forma fundamental de ϕ. Lembre que o vetor 
normal unitário é dado por 
 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
Os coeficientes da segunda forma fundamental são dados pelas seguintes 
fórmulas: 
 
 
Vetor normal: 
 
 
(livro-base p. 79-83). 
 
 
D 
 
 
 
E 
 
 
 
 
Questão 10 - Geometria Diferencial 
Considere a curva parametrizada: 
 
Tendo em vista os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria local das 
curvas, assinale a alternativa que representa a função de curvatura e a de torção de α: 
 
 
A 
 
 
B 
 
Esta é a afirmativa correta. 
Curvatura: temos que: 
 
 
 
 
Logo, a torção tem valor zero. 
 
(livro-base p. 42-54). 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 11 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre curvatura e dada a curva 
parametrizada por comprimento de arco 
 
assinale a alternativa que representa a curvatura de α. 
Lembre-se: 
 
 
A 
 
Você acertou! 
Esta é a alternativa correta. A curvatura é dada pela norma da derivada segunda da curva. 
 
(livro-base p. 13-15). 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
 
 
Questão 12 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre curvas regulares,analise as 
seguintes afirmativas e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas. 
I. ( ) a curva α(t)=(|t|,|t|) é uma curva regular. 
II. ( ) a curva α(t)=(e
t
,e−t) é uma curva regular. 
III. ( ) O vetor velocidade da curva α(t)=(e
t
,e
t
) é dado por a(t)=(e
t
,e
t
). 
Agora, assinale a afirmativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
A F – V – V 
A sequência correta é: F– V – V. 
A afirmativa I é falsa porque α(t) não é diferenciável em t=0. 
A afirmativa II é verdadeira porque α′(t)=(e
t,−e−t) ≠ 0. 
A afirmativa III é verdadeira porque α(t)=(e
t
,e
t
) tem vetor velocidade dado por 
v(t)=α′(t)=(e
t
,e
t
) 
(livro-base p. 5-12). 
 
B F – V – F 
 
C V – V – F 
 
D F – F – V 
 
E V – F – F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 13 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre a primeira forma fundamental e 
a área de uma superfície regular S, denominada hiperboloide hiperbólico, definida 
por ϕ(u,v)=(u,v,uv). Dados os coeficientesda primeira forma fundamental de ϕ. Assinale a afirmativa 
que representa a área da superfície ϕ delimitada por uma região D de S. 
 
E=1+v
2
 
F=uv 
G=1+u
2 
 
 
A A(ϕ(D))=2u
2
v
2
+c 
 
B A(ϕ(D))=∫∫D(1+uv) dudv 
 
C A(ϕ(D))=∫∫D(u
2
+v
2
+uv) d 
 
D 
 
Esta é a afirmativa correta. A área de uma superfície é dada por: 
 
Então, substituindo os coeficientes da segunda forma, expostos no 
enunciado, temos: 
 
 
(livro-base, p. 78-81). 
 
E A(ϕ(D))=∫∫D(u+v) dudv 
 
 
 
 
Questão 14 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre torção e a hélice dada 
por α(t)=(acost, asent, ct), onde 0,a>0, assinale a alternativa que representa a torção de α: 
 
A 
 
A curvatura é dada por 
 
Cálculo das derivadas: 
α′(t)=(−asent, acost, c) 
α″(t)=(−acost, −asent, 0) 
α‴(t)=(asent, −acost, 0) 
Cálculo do produto vetorial e da norma: 
 
 
(livro-base p. 15-20). 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
Questão 15 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre coeficientes da primeira forma 
fundamental e a superfície definida por ϕ(u,v)=(cosu,senv,v), assinale a alternativa que representa a 
área da superfície na região D={(u,v)∈R2:0<u<π, 0<v<2π} 
 
A 2π 
 
B 2π
2
 
Esta é a afirmativa correta. A área de uma superfície é dada por: 
 
Primeiro, devemos determinar os coeficientes: 
ϕu = (−senu, cosu, 0) 
ϕv = (0 ,0 , 1) 
E = <ϕu,ϕu> = sen
2
u + cos
2
u = 1 
F = <ϕu,ϕv> = 0 
G = <ϕv,ϕv> = 1 
Então, substituindo os coeficientes da primeira forma, expostos no enunciado, temos: 
 
(livro-base, p. 78-81). 
 
C 4π
2
 
 
D π
2
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 16 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre reparametrização e a curva dada 
por α(t) = (3cost, 3sent, 3) com t>0. analise as seguintes afirmativas e marque V para as afirmações 
verdadeiras e F para as afirmações falsas. 
 
I. ( ) A reparametrização por comprimento de arco de α é dada por 
 
II. ( ) A reparametrização por comprimento de arco de α tem norma igual a 3. 
III. ( ) O vetor tangente do triedro de Frenet, T(s), da curva reparametrizada, é dado por T(s)=α′(s). 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
A V – F – F 
 
B F – F – V 
 
C V – F – V 
A sequência correta é: V – F – V. 
Cálculo da derivada e da norma: 
α′(t) = (−3sent, 3cost, 0) 
 
Cálculo do comprimento de arco: 
 
 
Reparametrização: 
 
Portanto: 
A afirmativa I é verdadeira. 
A afirmativa II é falsa, porque a norma é 1. 
A afirmativa III é verdadeira, porque como a norma é igual a 1, 
 
 (livro-base, p. 11-13). 
 
D F – V – V 
 
E V – V – F 
 
 
Questão 17 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre superfícies regulares, a forma 
parametrizada dada por 
α(ϕ,θ)=(a senϕ cosθ, a senϕ senθ, a cosϕ), e a área delimitada pela região D={(ϕ,θ) ∈ R2: 
0≤ϕ≤2π, 0≤θ≤π}, assinale a afirmativa que representa a área de α delimitada por D. 
 
 
A 4πa
2
 
Esta é a afirmativa correta. A área de uma esfera de raio a é dada pela integra dupla: 
 
 
 
(livro-base, p. 77-80). 
 
B 16πa
4
 
 
C 16πa
2
 
 
D 8πa
2
 
 
E 2πa
2
 
 
 
Questão 18 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre comprimento de arco e a curva 
dada por α(t)=(3cost,3sent,t), onde t>0,, assinale a alternativa que representa comprimento de arco de α 
no intervalo de 0<t<4π. 
 
 
A 440π 
 
B √10π 
 
C 20,3333... 
 
D 2√10π 
 
E 39,73... 
Você acertou! 
Esta é a alternativa correta. 
Cálculo da derivada: 
 
Comprimento de arco: 
 
(livro-base, p. 11-13). 
 
Questão 19 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria local das 
curvas, considere a curva parametrizada α:R→R3 Definida por α(t)=(cost,sent,t). 
Assinale a alternativa que representa o vetor velocidade e o vetor aceleração de α. 
 
 
A v(t)=(−cost,−sent,1) e a(t)=(sent,−cost,0) 
 
B v(t)=(−cos2t,−sen2t,1) e a(t)=(2sent,−2cost,0) 
 
C v(t)=(−sent,−cos,t) e a(t)=(sent,−cost,1) 
 
D v(t)=(−sent,cost,1) e a(t)=(−cost,−sent,0) 
 
Você acertou! 
Esta é a afirmativa correta. Os vetores velocidade e aceleração são dados pela primeira e 
segunda derivada de α 
 α´(t)=v(t)=(−sent,cost,1) e α´´(t)=a(t)=(−cost,−sent,0) 
(livro-base p. 4-20). 
 
E v(t)=(−cost,−sent,cost+sent) e a(t)=(sent,−cost,−sent+cost) 
 
 
 
Questão 20 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre o triedro de Frenet e dada a 
curva parametrizada por comprimento de arco 
 
assinale a alternativa que representa a base ortonormal denominada triedro de Frenet-Serret para a 
curva .α. 
 
Lembre-se: 
 
Nota: 10.0 
 
A 
 
Você acertou! 
Esta é a alternativa correta. 
 
(livro-base, p. 13-15). 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
Questão 21 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre parametrização de curvas e 
vetor tangente, analise as afirmativas e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações 
falsas. 
I. ( ) A equação da reta 6x+2y=−6 pode ser parametrizada como 
II. ( ) A parametrização da equação da circunferência (x−3)2+(y−2)2=16 pode ser dada por 
α(t)=(3+4cost , 2+4sent). 
 
III. ( ) O vetor tangente à curva 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
A V – F – F 
 
B F – V – F 
 
C F – F – V 
 
D V – V – F 
Você acertou! 
A sequência correta é V – V – F. 
A afirmativa I é verdadeira, pois 
 
A afirmativa II é verdadeira, pois a parametrização da circunferência é dada por 
α(t)=(x0+rcost,y0+rsent), C(x0,y0) e r é o raio. 
 
A afirmativa III é falsa, pois o vetor tangente é dado pela derivada da curva α que é 
 
(livro-base p. 5-10). 
 
E F – V – V 
 
Questão 22 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre superfícies regulares e a 
superfície definida por ϕ(u,v)=(vcosu,vsenu,u), assinale a alternativa que representa a função curvatura 
gaussiana de .ϕ. 
 
 
A 
 
 
B 
 
Esta é alternativa correta. 
Cálculo das derivadas parciais: 
 
 
Cálculo dos coeficientes: 
 
 Vetor normal: 
 
Curvatura gaussiana: 
 
(livro-base, p. 86-90). 
 
C 
 
 
D 
 
 
E 
 
 
 
Questão 23 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria local 
das curvas, leia as seguintes afirmativas e marque V para as afirmações verdadeiras 
e F para as afirmações falsas: 
 
( ) A curva α:R→R3 definida por α(t)=(−t3,3t2,t3), tem curvatura 
. 
( ) A curva α:R→R3 definida por α(t)=(3t−t3,3t2,3t+t3) é regular. 
( ) A curva α(t)=(t,t2,t3),t∈R tem vetor tangente T(t)=(1,2t,3t2) e vetor normal 
N(t)=(0,2,6t). 
 
 
Agora, marque a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
A F – F – F 
 
B V – F – F 
 
C V – V – V 
 
D V – V – F 
Você acertou! 
A sequência correta é: V – V – F. 
 
Afirmativa 1: verdadeira 
 
Afirmativa 2: verdadeira, pois α´(t)=(3−3t2,6t,3+3t2)≠0, para todo t∈R. 
 
Afirmativa 3: falsa, porque 
 
(livro-base p. 20-30) 
 
E V – F – V 
 
 
Questão 24 - Geometria Diferencial 
Considerando os conteúdos do livro-base Geometria diferencial sobre teoria local das curvas e 
dada a curva regular 
 
 assinale a alternativa que representa o comprimento de α no intervalo 0<t<2. 
Nota: 0.0 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
Esta é a afirmativa correta. 
Calculamos a derivada da curva: α´(t)=(2t,2t2). 
 
O passo seguinte é o cálculo da norma da derivada: 
 
Cálculo do comprimento de arco: 
 
(livro-base p. 10-14). 
 
D 
 
 
E