calculo -e

Prévia do material em texto

- **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \), usando a definição da derivada de \( \ln(1 
+ x) \) em \( x = 0 \). 
 
163. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2} + \sqrt{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = -\frac{2}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
164. **Problema:** Determine \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Use substituição trigonométrica para resolver esta integral 
indefinida. 
 
165. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{9}{2} \), usando a série de Taylor para \( 
\cos(3x) \). 
 
166. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
167. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Use substituição trigonométrica para resolver esta integral 
indefinida. 
 
168. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \), pela definição da derivada de \( e^x \) em 
\( x = 0 \). 
 
169. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). 
 
170. **Problema:** Determine \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
171. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** Este limite é \( 1 \), usando a definição do limite 
fundamental. 
 
172. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = -\tan(x) \). 
 
173. **Problema:** Determine \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Esta integral pode ser resolvida utilizando substituição 
simples. 
 
174. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \), usando a definição da derivada de \( \ln(1 
+ x) \) em \( x = 0 \). 
 
175. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2} + \sqrt{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = -\frac{2}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
176. **Problema:** Determine \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Use substituição trigonométrica para resolver esta integral 
indefinida. 
 
177. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{9}{2} \), usando a série de Taylor para \( 
\cos(3x) \). 
 
178. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
179. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Use substituição trigonométrica para resolver esta integral 
indefinida. 
 
180. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).