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x} \). 
 - **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-x} \) 
 - **Explicação:** Encontre a solução geral da equação homogênea, depois use o 
método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular. 
 
80. **Problema:** Determine a série de Taylor para a função \( f(x) = \cos x \) centrada em 
\( x = \frac{\pi}{4} \). 
 - **Resposta:** \( f(x) = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{1}{6}(x - \frac{\pi}{4})^3 + 
\cdots \) 
 - **Explicação:** Calcule as derivadas de \( f(x) = \cos x \) nos pontos relevantes e use a 
fórmula da série de Taylor. 
 
81. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \). 
 - **Resposta:** \( e^2 \) 
 - **Explicação:** Reconheça a forma de limite exponencial e use a definição de \( e \). 
 
82. **Problema:** Encontre a equação da reta normal à curva \( y = \ln(\sec x) \) que passa 
pelo ponto \( \left( \frac{\pi}{4}, \ln \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \). 
 - **Resposta:** \( y = -\sqrt{2}(x - \frac{\pi}{4}) + \ln \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 - **Explicação:** Encontre a derivada da função \( y = \ln(\sec x) \), determine sua 
inclinação no ponto dado, e use a forma ponto-inclinação para encontrar a equação da 
reta normal. 
 
83. **Problema:** Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
por \( y = x^2 \), \( y = 4 \), \( x = 0 \), e \( x = 1 \) em torno da linha \( y = 4 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{56\pi}{3} \) 
 - **Explicação:** Use o método dos discos cilíndricos para calcular o volume. 
 
84. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - y' - 6y = e^{3x} \). 
 - **Resposta:** \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{3x} + \frac{1}{4}e^{3x} \) 
 - **Explicação:** Encontre a solução geral da equação homogênea, depois use o 
método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular. 
 
85. **Problema:** Determine a série de Taylor para a função \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) centrada 
em \( x = 0 \).