262. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + C \...

Para resolver a integral \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \), podemos fazer uma substituição simples para simplificar a expressão. Vamos chamar \( u = e^x \), então \( du = e^x \, dx \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \int \frac{1}{1 + e^{x} \cdot e^{x}} \, du = \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \] Essa integral é conhecida como a integral de arco tangente, e sua forma geral é \( \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = \arctan(u) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Portanto, a integral \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \) se torna: \[ \arctan(e^x) + C \] Assim, a resposta correta é: \( \arctan(e^x) + C \).