Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \)? a) \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x \cos x - \sin x...

Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \)?

a) \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \).
b) \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x \cos x + \sin x}{x^2} \).
c) \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x \cos x - \sin x}{x} \).

Cálculo Avançado

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25/06/2024

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leonam guimaraes

Respostas

26.06.2024

Para encontrar a derivada da função \( \frac{\sin x}{x} \), é necessário aplicar a regra do quociente. Vamos calcular passo a passo: Seja \( u = \sin x \) e \( v = x \). Então, pela regra do quociente, a derivada é dada por: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \] Substituindo \( u = \sin x \) e \( v = x \), temos: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \).