Problemas de Cálculo Avançado

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**Resposta e Explicação:** A área é \( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (1 + \sin \theta)^2 \, 
d\theta \). 
 
261. Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a expansão de Taylor 
 
 de \( \tan x \) para calcular o limite. 
 
262. Calcule a derivada parcial de \( f(x, y) = e^{xy} \) em relação a \( x \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A derivada parcial é \( \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy} \). 
 
263. Determine a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 3x + 1 \) que seja 
perpendicular à reta \( 2x - y = 1 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A equação da reta tangente é \( y = 3x - 1 \). 
 
264. Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n! x^n}{n^n} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** Use o teste da razão para determinar o raio de 
convergência. 
 
265. Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx \). 
 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = \frac{\pi}{2} - x \) para resolver a 
integral. 
 
266. Determine a área da região delimitada pela curva polar \( r = 1 - \cos \theta \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A área é \( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - \cos \theta)^2 \, 
d\theta \). 
 
267. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \( y = \sqrt{x} 
\), \( x = 1 \) e \( x = 2 \) em torno do eixo \( y \). 
 
 **Resposta e Explicação:** O volume é \( \pi \int_{1}^{2} (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 
268. Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{2x} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a propriedade do limite exponencial para resolver. 
 
269. Encontre a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A derivada é \( y' = -\tan x \). 
 
270. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \), \( y = 1 \) e \( x = 0 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A área é \( \int_{0}^{1} (e^x - 1) \, dx \). 
 
271. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \( y = \sqrt{x} 
\) em torno da linha \( y = -1 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** O volume é \( \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x} + 1)^2 \, dx \). 
 
272. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a expansão de Taylor de \( \sin x \) para calcular o 
limite. 
 
273. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \) em relação a \( y \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A derivada parcial é \( \frac{\partial f}{\partial y} = 
\frac{2y}{x^2 + y^2} \).