Problemas de Cálculo Avançado

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308. Encontre os pontos de máximos e mínimos locais da função \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 
1\). 
 
 **Resposta:** Máximo local em \(x = 0\), mínimo local em \(x = 3\). 
 
309. Calcule a integral \(\int \frac{dx}{(x-1)^2 (x+2)}\). 
 
 **Resposta:** A integral é \(-\frac{1}{3(x-1)} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{3(x+2)} + C\). 
 
310. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \(y = x^2\), 
\(y = 0\), \(x = 1\), e \(x = 2\) em torno da linha \(x = -1\). 
 
 **Resposta:** O volume é \(\frac{45\pi}{2}\). 
 
311. Verifique a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}\). 
 
 **Resposta:** A série converge. 
 
312. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right)\). 
 
 **Resposta:** O limite é \(\frac{1}{2}\). 
 
313. Encontre a equação da tangente ao gráfico da função \(f(x) = \sqrt{4 - x^2}\) que 
passa pelo ponto \((1, \sqrt{3})\). 
 
 **Resposta:** A equação da tangente é \(y = -\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{3\sqrt{3}}{2}\). 
 
314. Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(\sin^2 x)\). 
 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{2 \cos x}{\sin x}\). 
 
315. Determine o raio de convergência da série de potências \(\sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{n!}{n^n} x^n\). 
 
 **Resposta:** O raio de convergência é \(e\). 
 
316. Verifique se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}\) converge. 
 
 **Resposta:** A série converge. 
 
317. Determine o valor de \(a\) para que a integral \(\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^a}\) 
seja convergente. 
 
 **Resposta:** A integral converge se \(a > 1\). 
 
318. Resolva a equação diferencial \(y'' - 2y' + y = e^x\). 
 
 **Resposta:** A solução é \(y(x) = (C_1 + x)e^x + C_2 e^x\). 
 
319. Encontre os pontos de máximos e mínimos locais da função \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 
1\). 
 
 **Resposta:** Máximo local em \(x = 0\), mínimo local em \(x = 3\). 
 
320. Calcule a integral \(\int \frac{dx}{(x-1)^2 (x+2)}\). 
 
 **Resposta:** A integral é \(-\frac{1}{3(x-1)} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{3(x+2)} + C\). 
 
321. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \(y = x^2\), 
\(y = 0\), \(x = 1\), e \(x = 2\) em torno da linha \(x = -1\). 
 
 **Resposta:** O volume é \(\frac{45\pi}{2}\).