217. Determine o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n x^n}{n!} \). \( e \) Explicação: Aplique o teste da razão para sér...

Para determinar o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n x^n}{n!} \), podemos aplicar o teste da razão para séries de potências. Vamos calcular o limite \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \), onde \( a_n = \frac{n^n}{n!} \). Simplificando essa expressão, obtemos \( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1} \cdot n!}{(n+1)! \cdot n^n} \). Realizando as simplificações necessárias, chegamos a \( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n+1} = +\infty \). Portanto, o raio de convergência da série é \( R = \frac{1}{L} = 0 \).