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257. Problema: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \), onde \( a > 0 
\). 
 Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \). 
 Explicação: Limite fundamental relacionado à definição de \( e \). 
 
258. Problema: Encontre a solução da equação \( \log_2(x^2) = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Resolução de uma equação logarítmica e uma raiz quadrada. 
 
259. Problema: Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \). 
 Explicação: Limite fundamental usando a série de Taylor para o logaritmo. 
 
260. Problema: Calcule \( \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2 \). 
 Explicação: Integral definida envolvendo logaritmo e função trigonométrica. 
 
261. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1 - \ln(1+x)}{x^2} \). 
 Explicação: Derivada usando a regra do quociente e a função logarítmica. 
 
262. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? 
 Resposta: \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + C \), onde \( C \) é 
a constante de integração. 
 Explicação: Integral indefinida envolvendo exponenciais. 
 
263. Problema: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \), onde \( a > 0 
\). 
 Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \). 
 Explicação: Limite fundamental relacionado à definição de \( e \). 
 
264. Problema: Encontre a solução da equação \( \log_2(x^2) = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Resolução de uma equação logarítmica e uma raiz quadrada. 
 
265. Problema: Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \). 
 Explicação: Limite fundamental usando a série de Taylor para o logaritmo. 
 
266. Problema: Calcule \( \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2 \). 
 Explicação: Integral definida envolvendo logaritmo e função trigonométrica. 
 
267. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1 - \ln(1+x)}{x^2} \). 
 Explicação: Derivada usando a regra do quociente e a função logarítmica. 
 
268. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? 
 Resposta: \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + C \), onde \( C \) é 
a constante de integração. 
 Explicação: Integral indefinida envolvendo exponenciais. 
 
269. Problema: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \), onde \( a > 0 
\). 
 Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \). 
 Explicação: Limite fundamental relacionado à definição de \( e \). 
 
270. Problema: Encontre a solução da equação \( \log_2(x^2) = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( x = 1 
 
 \). 
 Explicação: Resolução de uma equação logarítmica e uma raiz quadrada. 
 
271. Problema: Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \).