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Explicação: Derivada usando a regra do quociente e a exponencial. 
 
214. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx \)? 
 Resposta: \( \int \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = -\frac{1}{\ln x} + C \), onde \( C \) é a constante 
de integração. 
 Explicação: Integral indefinida envolvendo logaritmo. 
 
215. Problema: Determine o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} = \frac{1}{3} \). 
 Explicação: Limite usando a série de Taylor para a exponencial. 
 
216. Problema: Encontre a solução da equação \( \log_2(x^2) = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Resolução de uma equação logarítmica e uma raiz quadrada. 
 
217. Problema: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \), onde \( a > 0 
\). 
 Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \). 
 Explicação: Limite relacionado à definição de \( e \). 
 
218. Problema: Calcule \( \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} \, dx \). 
 Resposta: \( \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} \, dx = \frac{\pi^2}{12} \). 
 Explicação: Integral definida envolvendo logaritmo. 
 
219. Problema: Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \)? 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \). 
 Explicação: Derivada usando a regra do quociente e a função seno. 
 
220. Problema: Determine o valor da integral \( \int \frac{dx}{\sqrt{1 + e^x}} \). 
 Resposta: \( \int \frac{dx}{\sqrt{1 + e^x}} = 2 \sqrt{1 + e^x} + C \), onde \( C \) é a constante 
de integração. 
 Explicação: Integral indefinida envolvendo exponencial e raiz quadrada. 
 
221. Problema: Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)? 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \). 
 Explicação: Limite fundamental usando a série de Taylor para o logaritmo. 
 
222. Problema: Determine a solução da equação \( \log(x+1) = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( x = 0 \). 
 Explicação: Resolução de uma equação logarítmica e uma raiz quadrada. 
 
223. Problema: Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2x} \right)^{3x} \)? 
 Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2x} \right)^{3x} = e^{3/2} \). 
 Explicação: Limite relacionado à definição de \( e \ 
 
). 
 
224. Problema: Calcule \( \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2 \). 
 Explicação: Integral definida envolvendo logaritmo e função trigonométrica. 
 
225. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1 - \ln(1+x)}{x^2} \). 
 Explicação: Derivada usando a regra do quociente e a função logarítmica. 
 
226. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? 
 Resposta: \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + C \), onde \( C \) é 
a constante de integração. 
 Explicação: Integral indefinida envolvendo exponenciais. 
 
227. Problema: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \), onde \( a > 0 
\). 
 Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \). 
 Explicação: Limite fundamental relacionado à definição de \( e \).