223. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \( y = e^x \), \( y = 1 \), e \( x = 0 \) em torno da linha \( x = 1 \)...

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \( y = e^x \), \( y = 1 \) e \( x = 0 \) em torno da linha \( x = 1 \) utilizando o método de casca cilíndrica, podemos seguir os seguintes passos: 1. O raio da casca cilíndrica é a distância entre a linha de rotação \( x = 1 \) e a curva mais externa \( y = e^x \). Portanto, o raio é dado por \( r = 1 - e^x \). 2. A altura da casca cilíndrica é dada por \( h = 1 - 0 = 1 \). 3. O volume de cada casca cilíndrica é dado por \( V = 2\pi rh \). 4. Integrando de \( x = 0 \) a \( x = \ln(1) = 0 \) (pois \( y = e^x \) e \( y = 1 \) se encontram em \( x = 0 \)), temos: \[ V = \int_{0}^{1} 2\pi(1 - e^x) \cdot 1 \, dx \] \[ V = 2\pi \int_{0}^{1} (1 - e^x) \, dx \] \[ V = 2\pi \left[ x - e^x \right]_{0}^{1} \] \[ V = 2\pi \left( 1 - e - 0 + 1 \right) \] \[ V = 2\pi \left( 2 - e \right) \] \[ V = 2\pi \cdot 2 - 2\pi e \] \[ V = 4\pi - 2\pi e \] \[ V = 2\pi(2 - e) \] Portanto, o volume do sólido gerado é \( 2\pi(2 - e) \), o que corresponde à resposta correta.