Problemas de Cálculo Avançado

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- **Resolução:** Utilize a regra da potência e a regra do produto para derivar \( y \). 
 
93. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + \sqrt{x}) \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra da cadeia para derivar \( f(x) \). 
 
94. **Problema:** Calcule a derivada de \( g(x) = \frac{\sin(x) \cos(x)}{\sqrt{1 + x^2}} \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra do produto e a regra da raiz para derivar \( g(x) \). 
 
95. **Problema:** Determine a derivada de \( h(x) = \sqrt{\frac{\cos(x)}{x^2 + 1}} \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra da potência e a regra do quociente para derivar \( h'(x) \). 
 
96. **Problema:** Encontre a derivada de \( y = \ln(\sqrt{\tan(x)} + \sqrt{x}) \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra da cadeia para derivar \( y \). 
 
97. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2 + \ln(x)} \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra do quociente e a regra da soma para derivar \( f(x) \). 
 
98. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \sin^2(x) \cos(x) \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra do produto para derivar \( g(x) \). 
 
99. **Problema:** Encontre a derivada de \( h(x) = \ln(\sin(x^2)) \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra da cadeia para derivar \( h(x) \). 
 
100. **Problema:** Calcule a derivada de \( y = \frac{x}{\sqrt{1 + \tan(x)}} \). 
 - **Resolução:** Utilize a regra do quociente e a regra da raiz para encontrar \( y' \). 
 
Espero que essa lista atenda às suas expectativas! 
Entendo, vou gerar mais 150 problemas de cálculo 2, cada um com resposta e explicação, 
sem repetições e com um nível mais avançado. Vamos lá: 
 
1. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 3. Utilize a definição de limite trigonométrico. 
 
2. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_x^{x^2} \frac{\cos(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x^2)}{x^2} \cdot 2x - 
\frac{\cos(x)}{x} \). 
 
3. **Problema:** Determine \( \int \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral. 
 
4. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{1}{2} \). Utilize a série de Taylor para \( e^x 
\). 
 
5. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_0^{\sin(x)} \frac{e^t}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{e^{\sin(x)}}{\sin(x)} \cdot \cos(x) 
\). 
 
6. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição para resolver esta integral indefinida. 
 
7. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^6 \). Utilize a definição de limite exponencial. 
 
8. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_{\cos(x)}^{x^2} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot 2x + 
\frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
9. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição para resolver esta integral indefinida. 
 
10. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 2. Utilize a série de Taylor para \( \ln(1 + x) \).