80. Problema: Determine a série de Taylor para a função f(x) = cos x centrada em x = π/4. f(x) = -1/2(x - π/4)^2 - 1/6(x - π/4)^3 + ...

Para determinar a série de Taylor para a função \( f(x) = \cos x \) centrada em \( x = \frac{\pi}{4} \), podemos utilizar a fórmula geral da série de Taylor: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots \] Neste caso, \( a = \frac{\pi}{4} \). Para a função \( f(x) = \cos x \), temos que \( f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( f''(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( f'''(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Substituindo na fórmula da série de Taylor, obtemos: \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2!}(x - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 3!}(x - \frac{\pi}{4})^3 + \ldots \] Portanto, a série de Taylor para a função \( f(x) = \cos x \) centrada em \( x = \frac{\pi}{4} \) é: \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{4}(x - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\sqrt{2}}{12}(x - \frac{\pi}{4})^3 + \ldots \]