Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx\). \(-\pi \ln 3\) Explicação: Use a propriedade das integrais definidas e a fórmula para inte...

Para calcular a integral \(\int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx\), podemos usar a propriedade das integrais definidas que diz que \(\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx\). Assim, temos: \(\int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \ln(\sin(\pi - x)) \, dx\) Como \(\sin(\pi - x) = \sin x\), temos: \(\int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx\) Portanto, a integral \(\int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx\) é igual a si mesma, ou seja, não se altera ao aplicarmos a propriedade mencionada. Assim, o resultado é \(-\pi \ln 3\).