268. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? Resposta: \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1 + e^{...

Para resolver a integral \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \), podemos fazer uma substituição simples para simplificar a expressão. Vamos chamar \( u = e^x \), então \( du = e^x \, dx \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \int \frac{1}{1 + e^{x} \cdot e^{x}} \, du = \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \] Essa integral é conhecida como a integral de uma função trigonométrica. A integral de \( \frac{1}{1 + u^2} \) é \( \arctan(u) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Substituindo de volta \( u = e^x \), temos: \[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \arctan(e^x) + C \] Portanto, a resposta correta para a integral dada é \( \arctan(e^x) + C \).