Problemas de Cálculo Avançado

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- Explicação: Complete o quadrado no denominador e use a fórmula da integral de arco 
tangente. 
 
23. Encontre o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 - Resposta: \( \ln(\sqrt{2} + 1) + \frac{\pi}{4} \) 
 - Explicação: Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da 
curva. 
 
24. Determine o raio de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{n^2} \). 
 - Resposta: \( 1 \) 
 - Explicação: Aplique o teste da razão para determinar o raio de convergência. 
 
25. Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \sec(2x) \). 
 - Resposta: \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + \frac{1}{2} \ln|\sec(2x) + \tan(2x)| \) 
 - Explicação: Encontre a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
26. Calcule o limite \( \lim_{ 
 
x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \). 
 - Resposta: \( e \) 
 - Explicação: Use a definição de limite de \( e \). 
 
27. Determine a área da região no primeiro quadrante limitada por \( y = \sin x \) e \( y = 
\cos x \). 
 - Resposta: \( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 - Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e integre a diferença entre 
elas. 
 
28. Verifique se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \) converge. 
 - Resposta: Converge (para \( \frac{\pi^2}{12} \)). 
 - Explicação: Use o teste de Leibniz para séries alternadas. 
 
29. Determine a série de potências para \( \ln(1+x) \) centrada em \( x = 0 \). 
 - Resposta: \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \) 
 - Explicação: Use a expansão em série de Taylor para \( \ln(1+x) \). 
 
30. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \( y = x^2 \), \( y 
= 4 \), e \( x = 0 \) em torno da linha \( x = 2 \). 
 - Resposta: \( \frac{32\pi}{3} \) 
 - Explicação: Use o método de casca cilíndrica para calcular o volume. 
 
31. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!} \). 
 - Resposta: Diverge. 
 - Explicação: Aplique o teste da razão para séries. 
 
32. Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} \). 
 - Resposta: \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x+2}{1}\right) + C \) 
 - Explicação: Complete o quadrado no denominador e use a fórmula da integral de arco 
tangente. 
 
33. Encontre o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 - Resposta: \( \ln(\sqrt{2} + 1) + \frac{\pi}{4} \) 
 - Explicação: Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da 
curva. 
 
34. Determine o raio de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{n^2} \). 
 - Resposta: \( 1 \) 
 - Explicação: Aplique o teste da razão para determinar o raio de convergência. 
 
35. Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \sec(2x) \). 
 - Resposta: \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + \frac{1}{2} \ln|\sec(2x) + \tan(2x)| \) 
 - Explicação: Encontre a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
36. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \).