Determine o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} \). a) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} = \frac{1}{3} \). ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a regra de L'Hôpital, que é útil para limites do tipo \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \). Vamos calcular o limite dado: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} \) Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a \( x \): \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{3x^2} \) Agora, substituímos \( x = 0 \) na expressão acima: \( \frac{e^0 + e^0 - 2}{3 \cdot 0^2} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0} \) Como ainda temos uma forma indeterminada, podemos aplicar novamente a regra de L'Hôpital: Derivando o numerador e o denominador em relação a \( x \): \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{6x} \) Substituindo \( x = 0 \) na expressão acima: \( \frac{e^0 - e^0}{6 \cdot 0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} \) Mais uma vez, temos uma forma indeterminada, então aplicamos a regra de L'Hôpital novamente: Derivando o numerador e o denominador em relação a \( x \): \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{6} \) Substituindo \( x = 0 \) na expressão acima: \( \frac{e^0 + e^0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) Portanto, o resultado correto é: a) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} = \frac{1}{3} \)