Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? a) \( \frac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. b) ...

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Vamos chamar \( u = e^x \), então \( du = e^x \, dx \). Substituindo na integral dada, temos: \[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \int \frac{1}{1 + e^{x} \cdot e^{x}} \, du = \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \] Essa integral é reconhecida como a integral da função tangente inversa, \( \arctan(u) \), portanto: \[ \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = \arctan(u) + C \] Substituindo de volta \( u = e^x \), obtemos: \[ \arctan(e^x) + C \] Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.