Problemas de Cálculo

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42. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 - x^2 \), a integral é \( \frac{\pi}{4} \). 
 
43. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) 
= \frac{1}{2} \). 
 
44. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx \). 
 - **Resolução**: Integrando por partes, \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi \). 
 
45. **Problema**: Calcule \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
46. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = e^x \), \( y = \ln x \), \( x 
= 1 \) e \( x = 2 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{1}^{2} (e^x - \ln x) \, dx = e^2 - e - 1 \). 
 
47. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} \). 
 - **Resolução**: Aplicando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} = 
\frac{3}{2} \). 
 
48. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\sin x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{\cos x}{\sin x} \). 
 
49. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 - x^2 \), a integral é \( \frac{\pi}{4} \). 
 
50. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) 
= \frac{1}{2} \). 
 
51. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx \). 
 - **Resolução**: Integrando por partes, \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi \). 
 
52. **Problema**: Calcule \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
53. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = e^x \), \( y = \ln x \), \( x 
= 1 \) e \( x = 2 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{1}^{2} (e^x - \ln x) \, dx = e^2 - e - 1 \). 
 
54. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} \). 
 - **Resolução**: Aplic 
 
ando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} = \frac{3}{2} \). 
 
55. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\sin x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{\cos x}{\sin x} \). 
 
56. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 - x^2 \), a integral é \( \frac{\pi}{4} \). 
 
57. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) 
= \frac{1}{2} \). 
 
58. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx \). 
 - **Resolução**: Integrando por partes, \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi \). 
 
59. **Problema**: Calcule \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
60. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = e^x \), \( y = \ln x \), \( x 
= 1 \) e \( x = 2 \).