Prévia do material em texto
355. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \). - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso é obtido usando a definição de derivada da função seno. 356. **Problema:** Calcule \( \int \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx \). - **Resposta e Explicação:** A integral é \( e^x \arctan x - e^x + C \). Isso envolve a regra do quociente e a integral da exponencial. 357. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \sqrt{x} \ln x \). - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \). Isso envolve a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. 358. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso usa a definição de derivada da função exponencial. 359. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos x}{x^2 + 4x + 13} \, dx \). - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2x + 4}{3} \right) + C \). Isso envolve completar o quadrado e a fórmula da integral de uma função racional. 360. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = x \sin x \cos x \). - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \sin 2x + 2x \cos 2x \). Isso usa a regra do produto e a derivada do seno e cosseno. 361. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} \). - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{3}{5} \). Isso é obtido usando a expansão em série de Taylor para tangente e seno. 362. **Problema:** Calcule \( \int x^2 \sin x \, dx \). - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C \). Isso usa integração por partes. 363. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x \cos x) \). - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \cot x - \tan x \). Isso envolve a regra do logaritmo natural e a derivada do produto trigonométrico. 364. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \). - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso é obtido usando a definição de derivada da função seno. 365. **Problema:** Calcule \( \int \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx \). - **Resposta e Explicação:** A integral é \( e^x \arctan x - e^x + C \). Isso envolve a regra do quociente e a integral da exponencial. 366. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \sqrt{x} \ln x \). - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \). Isso envolve a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. 367. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso usa a definição de derivada da função exponencial. 368. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos x}{x^2 + 4x + 13} \, dx \). - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2x + 4}{3} \right) + C \). Isso envolve completar o quadrado e a fórmula da integral de uma função racional. 369. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = x \sin x \cos x \). - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \sin 2x + 2x \cos 2x \). Isso usa a regra do produto e a derivada do seno e cosseno. 370. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} \). - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{3}{5} \). Isso é obtido usando a expansão em série de Taylor para tangente e seno. 371. **Problema:** Calcule \( \int x^2 \sin x \, dx \). - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C \). Isso usa integração por partes.