Calcule a integral de \( \int \frac{e^x}{1 - e^{2x}} \, dx \). a) \( -\frac{1}{2} \ln |1 - e^{2x}| + C \) b) \( \frac{e^x (x^2 + 1) - 2x e^x}{2(x^...

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir \( e^x \) por \( u \), então \( du = e^x \, dx \) e a integral se torna: \[ \int \frac{du}{1 - u^2} \] Essa integral pode ser reescrita como: \[ \int \frac{du}{(1 - u)(1 + u)} \] Agora, podemos decompor em frações parciais: \[ \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u} \] Encontramos os valores de A e B e integramos cada termo separadamente. Após a integração, chegamos à resposta correta: a) \( -\frac{1}{2} \ln |1 - e^{2x}| + C \)