Problemas de Cálculo

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322. Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{4} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 
323. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n} \) converge ou diverge. 
 - **Resposta:** Diverge. 
 
324. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x^2 + 1) \) que passa pelo 
ponto \( (1, 0) \). 
 - **Resposta:** \( y = x - 1 \) 
 
325. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 9}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\frac{\sqrt{x^2 - 9}}{18x^2} + C \) 
 
326. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \( y = e^x 
\), \( y = 1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \) em torno do eixo \( y \). 
 - **Resposta:** \( \pi (e - 1) \) 
 
327. Encontre a série de Taylor para \( e^x \) centrada em \( x = 0 \). 
 - **Resposta:** \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \) 
 
328. Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \arctan(\frac{x+2}{\sqrt{3}}) + C \) 
 
329. Determine a soma dos termos da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
 - **Resposta:** \( 1 \) 
 
330. Encontre a área da região limitada por \( y = x^2 \), \( y = 4x \), e \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 
331. Determine o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n+1}}{2^n} \). 
 - **Resposta:** \( -2 \leq x \leq 2 \) 
 
332. Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{4} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 
333. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n} \) converge ou diverge. 
 - **Resposta:** Diverge. 
 
334. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x^2 + 
 
1) \) que passa pelo ponto \( (1, 0) \). 
 - **Resposta:** \( y = x - 1 \) 
 
335. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 9}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\frac{\sqrt{x^2 - 9}}{18x^2} + C \) 
 
336. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \( y = e^x 
\), \( y = 1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \) em torno do eixo \( y \). 
 - **Resposta:** \( \pi (e - 1) \) 
 
337. Encontre a série de Taylor para \( e^x \) centrada em \( x = 0 \). 
 - **Resposta:** \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \) 
 
338. Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \arctan(\frac{x+2}{\sqrt{3}}) + C \) 
 
339. Determine a soma dos termos da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
 - **Resposta:** \( 1 \) 
 
340. Encontre a área da região limitada por \( y = x^2 \), \( y = 4x \), e \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \)