Problemas de Cálculo

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- **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 - **Explicação:** Aplicação das identidades trigonométricas e o uso do limite. 
 
596. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 - **Explicação:** Aplicação das identidades trigonométricas e o uso do limite. 
 
597. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^1 \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2x + 1} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{5}{6} \) 
 - **Explicação:** Simplificação da função racional e a resolução da integral definida. 
 
598. **Problema:** Qual é a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln x \) e \( y = \ln 
2x \) no intervalo \( [1, 2] \)? 
 - **Resposta:** \( 1 - \ln 2 \) 
 - **Explicação:** Encontrando os pontos de interseção e calculando a área entre as 
curvas. 
 
599. **Problema:** Se \( \tan \alpha = 2 \), determine \( \sin \alpha \). 
 - **Resposta:** \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) 
 - **Explicação:** Relacionando tangente e seno usando a identidade trigonométrica. 
 
600. **Problema:** Se \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \), calcule \( f'(2) \). 
 - **Resposta:** \( 3 \) 
 - **Explicação:** Aplicando a regra do quociente para encontrar a derivada 
 
 de \( f(x) \) e, em seguida, avaliando-a em \( x = 2 \). 
 
601. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 - **Explicação:** Aplicação das identidades trigonométricas e o uso do limite. 
 
602. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 - **Explicação:** Aplicação das identidades trigonométricas e o uso do limite. 
 
603. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^1 \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2x + 1} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{5}{6} \) 
 - **Explicação:** Simplificação da função racional e a resolução da integral definida. 
 
604. **Problema:** Qual é a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln x \) e \( y = \ln 
2x \) no intervalo \( [1, 2] \)? 
 - **Resposta:** \( 1 - \ln 2 \) 
 - **Explicação:** Encontrando os pontos de interseção e calculando a área entre as 
curvas. 
 
605. **Problema:** Se \( \tan \alpha = 2 \), determine \( \sin \alpha \). 
 - **Resposta:** \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) 
 - **Explicação:** Relacionando tangente e seno usando a identidade trigonométrica. 
 
606. **Problema:** Se \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \), calcule \( f'(2) \). 
 - **Resposta:** \( 3 \) 
 - **Explicação:** Aplicando a regra do quociente para encontrar a derivada de \( f(x) \) e, 
em seguida, avaliando-a em \( x = 2 \). 
 
607. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 - **Explicação:** Aplicação das identidades trigonométricas e o uso do limite. 
 
608. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3}{2} \) 
 - **Explicação:** Aplicação das identidades trigonométricas e o uso do limite. 
 
609. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^1 \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2x + 1} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{5}{6} \)