Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x \ln x} \) para \( x > 0 \). a) \( f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x \ln x}} \) b) \( f'(x) = -\tan x \) ...

Para determinar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x \ln x} \), é necessário utilizar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos calcular passo a passo: \( f(x) = \sqrt{x \ln x} \) Aplicando a regra do produto, temos: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x \ln x}} \cdot (\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} + \sqrt{\ln x} \cdot \frac{1}{x}) \) Simplificando, obtemos: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x \ln x}} \cdot (\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{\ln x}}{x}) \) \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x \ln x}} \cdot (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}) \) \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x \ln x}} \cdot (\frac{\sqrt{\ln x} + 1}{x}) \) Portanto, a derivada de \( f(x) = \sqrt{x \ln x} \) para \( x > 0 \) é: \( f'(x) = \frac{\sqrt{\ln x} + 1}{2x\sqrt{x \ln x}} \) Assim, a alternativa correta é: a) \( f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x \ln x}} \)