Problemas de Cálculo

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- **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{2x \ln(x^2 - 1) - x}{x^2(x^2 - 1)} \). 
Isso envolve a regra do quociente e a derivada do logaritmo natural. 
 
692. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \tan 3x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{2}{3} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para o seno e a tangente. 
 
693. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x \cos x}{\sin^2 x} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\frac{x}{\sin x} + C \). Isso envolve a 
substituição \( u = \sin x \). 
 
694. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin x}} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = -\frac{\sin x (1 + \sin x)^{-
3/2}}{2\sqrt{1 + \sin x}} \). Isso envolve a regra do quociente e a derivada da raiz quadrada. 
 
695. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 3 \). Isso é obtido usando a definição de 
derivada da função exponencial. 
 
696. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \sec x + C \). Isso envolve a substituição \( u 
= \cos x \). 
 
697. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = x \ln(1 + x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \ln(1 + x) + \frac{x}{1 + x} \). Isso 
envolve a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. 
 
698. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\sin 7x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{5}{7} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para a tangente e o seno. 
 
699. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x^3 e^x}{(1 + x^2)^2} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{e^x (x^2 + 1) - 2x e^x}{2(x^2 + 1)} + C \). 
Isso envolve a regra do quociente e a regra do produto. 
 
700. **Problema:** Determine a 
 
 derivada de \( f(x) = \sqrt{x \ln x} \) para \( x > 0 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x \ln x}} \). Isso 
envolve a regra da cadeia e a derivada da raiz quadrada. 
 
701. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{1}{2} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para a função exponencial. 
 
702. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \cot x + C \). Isso envolve a substituição \( u = 
\sin x \). 
 
703. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\cos x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = -\tan x \). Isso envolve a regra do 
logaritmo natural e a derivada do cosseno. 
 
704. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso é obtido usando a definição de 
derivada da função tangente. 
 
705. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^3}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{-2}{9} (1 - x^3)^{3/2} + C \). Isso envolve 
a substituição \( u = 1 - x^3 \). 
 
706. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \cot x \). Isso envolve a regra do 
logaritmo natural e a derivada da função seno. 
 
707. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x \tan 2x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{3}{2} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para o seno e a tangente.