Problemas de Cálculo

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241. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso usa a definição de derivada da 
função exponencial. 
 
242. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos x}{x^2 + 4x + 13} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2x + 4}{3} \right) 
+ C \). Isso envolve completar o quadrado e a fórmula da integral de uma função racional. 
 
243. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = x \sin x \cos x \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \sin 2x + 2x \cos 2x \). Isso usa a regra 
do produto e a derivada do seno e cosseno. 
 
244. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{3}{5} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para tangente e seno. 
 
245. **Problema:** Calcule \( \int x^2 \sin x \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C \). Isso 
usa integração por partes. 
 
246. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x \cos x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \cot x - \tan x \). Isso envolve a regra 
do logaritmo natural e a derivada do produto trigonométrico. 
 
247. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso é obtido usando a definição de 
derivada da função seno. 
 
248. **Problema:** Calcule \( \int \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( e^x \arctan x - e^x + C \). Isso envolve a regra 
do quociente e a integral da exponencial. 
 
249. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \sqrt{x} \ln x \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \). Isso 
envolve a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. 
 
250. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso usa a definição de derivada da 
função exponencial. 
 
251. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos x}{x^2 + 4x + 13} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2x + 4}{3} \right) 
+ C \). Isso envolve completar o quadrado e a fórmula da integral de uma função racional. 
 
252. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = x \sin x \cos x \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é 
 
 \( g'(x) = \sin 2x + 2x \cos 2x \). Isso usa a regra do produto e a derivada do seno e cosseno. 
 
253. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{3}{5} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para tangente e seno. 
 
254. **Problema:** Calcule \( \int x^2 \sin x \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C \). Isso 
usa integração por partes. 
 
255. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x \cos x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \cot x - \tan x \). Isso envolve a regra 
do logaritmo natural e a derivada do produto trigonométrico. 
 
256. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso é obtido usando a definição de 
derivada da função seno. 
 
257. **Problema:** Calcule \( \int \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx \).