Problemas de Cálculo

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845. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x \tan 2x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{3}{2} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para o seno e a tangente. 
 
846. **Problema:** Calcule \( \int \frac{e^x}{1 - e^{2x}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\frac{1}{2} \ln |1 - e^{2x}| + C \). Isso envolve 
a substituição \( u = e^x \). 
 
847. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \frac{\ln(x^2 - 1)}{x} \), para \( x > 1 \) e 
\( x < -1 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{2x \ln(x^2 - 1) - x}{x^2(x^2 - 1)} \). 
Isso envolve a regra do quociente e a derivada do logaritmo natural. 
 
848. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \tan 3x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{2}{3} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para o seno e a tangente. 
 
849. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x^3 e^x}{(1 + x^2)^2} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{e^x (x^ 
 
2 + 1) - 2x e^x}{2(x^2 + 1)} + C \). Isso envolve a regra do quociente e a regra do produto. 
 
850. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x \ln x} \) para \( x > 0 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x \ln x}} \). Isso 
envolve a regra da cadeia e a derivada da raiz quadrada. 
 
851. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{1}{2} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para a função exponencial. 
 
852. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \cot x + C \). Isso envolve a substituição \( u = 
\sin x \). 
 
853. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\cos x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = -\tan x \). Isso envolve a regra do 
logaritmo natural e a derivada do cosseno. 
 
854. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \). Isso é obtido usando a definição de 
derivada da função tangente. 
 
855. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^3}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{-2}{9} (1 - x^3)^{3/2} + C \). Isso envolve 
a substituição \( u = 1 - x^3 \). 
 
856. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \cot x \). Isso envolve a regra do 
logaritmo natural e a derivada da função seno. 
 
857. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x \tan 2x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{3}{2} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para o seno e a tangente. 
 
858. **Problema:** Calcule \( \int \frac{e^x}{1 - e^{2x}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\frac{1}{2} \ln |1 - e^{2x}| + C \). Isso envolve 
a substituição \( u = e^x \). 
 
859. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \frac{\ln(x^2 - 1)}{x} \), para \( x > 1 \) e 
\( x < -1 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{2x \ln(x^2 - 1) - x}{x^2(x^2 - 1)} \). 
Isso envolve a regra do quociente e a derivada do logaritmo natural. 
 
860. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \tan 3x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{2}{3} \). Isso é obtido usando a expansão 
em série de Taylor para o seno e a tangente.