Problemas de Cálculo

Prévia do material em texto

179. Encontre a série de Taylor para \( \sin x \) centrada em \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resposta:** \( \sin x \approx 1 - (x - \frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 + O((x - 
\frac{\pi}{2})^3) \) 
 
180. Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\sqrt{9 - x^2} + C \) 
 
181. Determine o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^n x^{2n+1}}{2^n} \). 
 - **Resposta:** \( 2 \) 
 
182. Encontre a área da região entre as curvas \( y = x^3 \) e \( y = 8x - x^3 \) de \( x = 0 \) a \( 
x = 2 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{64}{3} \) 
 
183. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)} \) converge ou diverge. 
 - **Resposta:** Converge. 
 
184. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) que é perpendicular à 
reta \( y = 2x + 1 \). 
 - **Resposta:** \( y = -\frac{1}{2}(x - 1) \) 
 
185. Calcule a integral \( \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\cot x + C \) 
 
186. Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{6} 
\). 
 - **Resposta:** \( \ln(\sqrt{3}) \) 
 
187. Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 5y = e^{2x} \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = e^{2x} \) 
 
188. Determine a área da região limitada por \( y = e^x \), \( y = \ln x \), \( x = 1 \), \( x = e \). 
 - **Resposta:** \( e - 1 \) 
 
189. Encontre a série de Taylor para \( \sin x \) centrada em \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resposta:** \( \sin x \approx 1 - (x - \frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})^2 + O((x - 
\frac{\pi}{2})^3) \) 
 
190. Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\sqrt{9 - x^2} + C \) 
 
191. Determine o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^n x^{2n+1}}{2^n} \). 
 - **Resposta:** \( 2 \) 
 
192. Encontre a área da região entre as curvas \( y = x^3 \) e \( y = 8x - x^3 \) de \( x = 0 \) a \( 
x = 2 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{64}{3} \) 
 
193. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)} \) converge ou diverge. 
 - **Resposta:** Converge. 
 
194. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) que é perpendicular à 
reta \( y = 2x + 1 \). 
 - **Resposta:** \( y = -\frac{1}{2}(x - 1) \) 
 
195. Calcule a integral \( \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( -\ 
 
cot x + C \) 
 
196. Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{6} 
\). 
 - **Resposta:** \( \ln(\sqrt{3}) \)