Problemas de Cálculo

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- **Resolução**: Completando o quadrado e usando a forma de \( \frac{1}{a^2 + x^2} \), 
a integral é \( \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x+2}{1} \right) + C \). 
 
104. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( x - \sqrt{x^2 + 4x} \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( x - \sqrt{x^2 + 4x} 
\right) = -2 \). 
 
105. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 \) 
entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{0}^{1} (x^2 - \sqrt{x}) \, dx = \frac{1}{6} \). 
 
106. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 3x} \). 
 - **Resolução**: Aplicando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 3x} = 
\frac{2}{3} \). 
 
107. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( -\tan x \). 
 
108. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 + x^2 \), a integral é \( \sqrt{2} - 1 \). 
 
109. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x 
\right) = 2 \). 
 
110. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx \). 
 - **Resolução**: Integrando por partes, \( \int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx = \pi \). 
 
111. **Problema**: Determine a derivada de \( y = \ln(\tan x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{1}{\sin x \cos x} \). 
 
112. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 - x^2 \), a integral é \( \frac{\pi}{4} \). 
 
113. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x 
\right) = 2 \). 
 
114. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 \) 
entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{0}^{1} (x^2 - \sqrt{x}) \, dx = \frac{1}{6} \). 
 
115. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 3x} \). 
 - **Resolução**: Aplicando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 3x} = 
\frac{2}{3} \). 
 
116. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( -\tan x \). 
 
117. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 + x^2 \), a integral é \( \sqrt{2} - 1 \). 
 
118. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x 
\right) = 2 \). 
 
119. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx \). 
 - **Resolução**: Integrando por partes, \( \int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx = \pi \). 
 
120. **Problema**: Determine a derivada de \( y = \ln(\tan x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{1}{\sin x \cos x} \). 
 
121. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 - x^2 \), a integral é \( \frac{\pi}{4} \).