Prévia do material em texto

- **Resposta:** \( -\frac{1}{2} \) 
 - **Explicação:** Simplifique a expressão dentro do limite para resolver. 
 
111. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \) de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{3} \). 
 - **Resposta:** \( \ln \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 - **Explicação:** Use a fórmula do comprimento de arco para calcular o comprimento 
da curva. 
 
112. **Problema:** Resolva a integral \( \int \frac{e^x + 1}{e^x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( x + e^{-x} + C \) 
 - **Explicação:** Simplifique a expressão dentro da integral e então integre. 
 
113. **Problema:** Determine a equação da reta normal à curva \( y = \ln(\sin x) \) que 
passa pelo ponto \( \left( \frac{\pi}{6}, \ln \frac{1}{2} \right) \). 
 - **Resposta:** \( y = -\sqrt{3}(x - \frac{\pi}{6}) + \ln \frac{1}{2} \) 
 - **Explicação:** Encontre a derivada da função \( y = \ln(\sin x) \), determine sua 
inclinação no ponto dado, e use a forma ponto-inclinação para encontrar a equação da 
reta normal. 
 
114. **Problema:** Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
por \( y = \ln x \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), e \( x = e \) em torno da linha \( x = e \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\pi}{2}e^3 - e^2 \) 
 - **Explicação:** Use o método dos discos cilíndricos para calcular o volume. 
 
115. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 2y' + y = e^{-x} \). 
 - **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-x} \) 
 - **Explicação:** Encontre a solução geral da equação homogênea, depois use o 
método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular. 
 
116. **Problema:** Determine a série de Taylor para a função \( f(x) = \cos x \) centrada em 
\( x = \frac{\pi}{4} \). 
 -