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Para resolver a integral ∫ e^x * sin(x) dx, podemos utilizar integração por partes. Vamos considerar u = e^x e dv = sin(x) dx. Aplicando a fórmula de integração por partes ∫ u dv = uv - ∫ v du, temos: ∫ e^x * sin(x) dx = -e^x * cos(x) - ∫ (-e^x * cos(x)) dx ∫ e^x * sin(x) dx = -e^x * cos(x) + ∫ e^x * cos(x) dx Agora, para encontrar a integral de e^x * cos(x), podemos novamente aplicar integração por partes. Vamos considerar u = e^x e dv = cos(x) dx. Assim, temos: ∫ e^x * cos(x) dx = e^x * sin(x) - ∫ e^x * sin(x) dx Substituindo na equação anterior, obtemos: ∫ e^x * sin(x) dx = -e^x * cos(x) + (e^x * sin(x) - ∫ e^x * sin(x) dx) Agora, isolando o termo ∫ e^x * sin(x) dx, obtemos: 2∫ e^x * sin(x) dx = e^x * sin(x) - e^x * cos(x) ∫ e^x * sin(x) dx = (e^x * sin(x) - e^x * cos(x))/2 + C Portanto, a alternativa correta é: a) ∫ e^x * sin(x) dx = (e^x(sin(x) - cos(x))/2 + C
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