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Para calcular o valor do fluxo do campo vetorial através da superfície S utilizando o Teorema da Divergência, primeiro precisamos calcular a divergência do campo vetorial F. Dado o campo vetorial F = x²y i + xy² j, a divergência de F é dada por div(F) = ∂(x²y)/∂x + ∂(xy²)/∂y. Calculando as derivadas parciais, temos: ∂(x²y)/∂x = 2xy ∂(xy²)/∂y = x*2y = 2xy Portanto, a divergência de F é div(F) = 2xy + 2xy = 4xy. Agora, podemos aplicar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S, que é um cubo com os limites de integração dados por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. O valor do fluxo é dado pela integral tripla da divergência de F sobre o volume delimitado pela superfície S. Como a divergência é constante (4xy), podemos simplificar a integral para: ∫∫∫ div(F) dV = 4 ∫∫∫ xy dV Integrando em relação a x, y e z nos limites do cubo, obtemos: 4 ∫[0,1] ∫[0,1] ∫[0,1] xy dz dy dx 4 ∫[0,1] ∫[0,1] [xy] dy dx 4 ∫[0,1] [x/2] dx 4 [x²/4] [0,1] 4 * 1²/4 = 1 Portanto, o valor do fluxo através do Teorema da Divergência é 1. A alternativa correta é: a) 1.
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