Problemas de Cálculo

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176. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
177. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 2. Utilize a série de Taylor para \( e^{2x} \). 
 
178. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3 
 
} \frac{\cos(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\cos(x^3)}{x^3} \cdot 3x - 
\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
179. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
180. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
181. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
182. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
183. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 3. Utilize a série de Taylor para \( e^{3x} \). 
 
184. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3} \frac{\cos(t)}{t} \, dt 
\). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\cos(x^3)}{x^3} \cdot 3x - 
\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
185. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
186. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
187. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
188. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
189. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 2. Utilize a série de Taylor para \( e^{2x} \). 
 
190. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3} \frac{\cos(t)}{t} \, dt 
\). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\cos(x^3)}{x^3} \cdot 3x - 
\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
191. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
192. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \).