Problemas de Cálculo

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259. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \cos x \) e o eixo 
\( x \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 - **Resposta:** A área é \( 2 \). 
 - **Explicação:** Integrando a função entre os limites dados. 
 
260. **Problema:** Calcule a derivada de \( y = \arctan(3x + 1) \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{3}{1 + (3x + 1)^2} \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia e a derivada da função arco tangente. 
 
261. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{6x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 6 \). 
 - **Explicação:** Usando a definição de limite e a série de Taylor para \( e^{6x} \). 
 
262. **Problema:** Resolva a equação \( 8^{2x} = 64^x \). 
 - **Resposta:** \( x = \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Aplicando propriedades de expoentes para resolver a equação. 
 
263. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln x \), \( y = 0 
\), \( x = 1 \), e \( x = e \). 
 - **Resposta:** A área é \( e - 1 \). 
 - **Explicação:** Integrando a função entre os limites dados. 
 
264. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^4 - 1} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{1}{2} \arctan x + C \). 
 - **Explicação:** Utilizando decomposição em frações parciais para integrar a 
expressão. 
 
265. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{3x^{2/3}} \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra da potência para derivar as funções radicais. 
 
266. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 6 \). 
 - **Explicação:** Usando a definição de limite e as propriedades do seno. 
 
267. **Problema:** Resolva a equação \( \log_3(x+3) = 2 \). 
 - **Resposta:** \( x = 7 \). 
 - **Explicação:** Aplicando a definição de logaritmo para resolver a equação. 
 
268. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \cos x \) e o eixo 
\( x \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 - **Resposta:** A área é \( 2 \). 
 - **Explicação:** Integrando a função entre os limites dados. 
 
269. **Problema:** Calcule a derivada de \( y = \arctan(3x + 1) \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{3}{1 + (3x + 1)^2} \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia e a derivada da função arco tangente. 
 
270. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{6x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 6 \). 
 - **Explicação:** Usando a definição de limite e a série de Taylor para \( e^{6x} \). 
 
271. **Problema:** Resolva a equação \( 8^{2x} = 64^x \). 
 - **Resposta:** \( x = \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Aplicando propriedades de expoentes para resolver a equação. 
 
272. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln x \), \( y = 0 
\), \( x = 1 \), e \( x = e \). 
 - **Resposta:** A área é \( e - 1 \). 
 - **Explicação:** Integrando a função entre os limites dados. 
 
273. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^4 - 1} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{1}{2} \arctan x + C \).